数的机器表示

机器字

• 机器字长：指数据地址长度，分为32位和64位。
• 机器字地址：指机器字的第一个字节的地址。

字节序

一个机器字内的各个字节的排列方式，分为大端和小端。

• 大端：最低权重字节占据高地址。
• 小端：最低权重字节占据低地址。

整数的二进制编码

无符号数

也称为原码表示。

• 取值范围：$0\sim 2^w-1$

有符号数

也称为补码表示，二进制最高位为符号位，权重为$-2^{w-1}$。

• 对于非负数：补码=原码
• 对于负数：补码=绝对值的反码（原码各位取反）+1
• ~ 补码是相反数的补码的反码+1！
• 取值范围：$-2^{w-1}\sim 2^{w-1}-1$
• ! 相同位数的无符号数与有符号数混合使用时，有符号数默认转换为无符号数

无符号数与有符号数间的转换

$$ux=\{\begin{array}{rlr}& x,& x\ge 0\\ & x+2^w,& x<0\end{array}$$

• ! 把负整数映射到无符号数的高数值范围

运算

无符号数加法

$$UAd{d}_w(u,v)=\{\begin{array}{rlrlr}& u+v,& u+v<2^w& & \\ & u+v-2^w,& u+v\ge 2^w& & 溢出\end{array}$$

补码加法

$$TAd{d}_w(u,v)=\{\begin{array}{rlrlr}& u+v+2^w,& & u+v<-2^{w-1}& 向下溢出\\ & u+v,& & -2^{w-1}\le u+v\le 2^{w-1}-1& \\ & u+v-2^w,& & u+v\ge 2^{w-1}& 向上溢出\end{array}$$

逻辑右移

最高位补 $0$。$u>>k$ 相当于无符号数的 $\lfloor \frac{u}{2^k}\rfloor$。

算数右移

最高位补和原本最高位相同的值。$x>>k$ 相当于带符号数的 $\lfloor \frac{x}{2^k}\rfloor$ 要实现向零取整，当 $x$ 为负数时，需要添加一个偏置量 $2^k-1$，即计算 $(x+2^k-1)>>k$

• ~ 无论是逻辑右移还是算数右移，都相当于除法后向下取整

浮点数的二进制编码

$$(-1{)}^s\cdot M\cdot 2^E$$

• 符号：s
• 有效数：$M\in [1.0,2.0)$，控制精度
• 指数：E，控制表示范围
• 单精度：E8M23
• 双精度：E11M52

规格化浮点数

满足 $\exp \ne 00\dots 0且\exp \ne 111\dots 1$。

• 真实的 E 需要减去一个偏置量 $Bias=2^{e-1}-1$
  • 单精度数：127
  • 双精度数：1023
• 小数域第一位隐含为 1
  • frac 为 $00\dots 0$ 时 M 为 1.0 例：

非规格化浮点数

1. 满足 $\exp =00\dots 0$
   • E=1-Bias
   • M 的第一位不再隐含 1
2. 满足 $\exp =11\dots 1$
   • $frac=00\dots 0$：表示 $+\infty 或-\infty$
   • $frac\ne 00\dots 0$：NaN

小浮点数示例：

向偶数舍入

• 若大于 $\frac{1}{2}$，进位，若小于 $\frac{1}{2}$，舍去
• 若等于 $\frac{1}{2}$，即最低有效位右侧为 $100\dots$，若最低有效位为 $0$，舍去，若为 $1$，进位

• 舍入操作可能导致溢出，如 63 舍入后为 10.000，此时需调整为 1.000，指数位加一

类型转换

• double 或 float 转 int：尾数部分截断，若溢出或浮点数为 NaN，则转换结果无意义，一般置为 Tmin 或 Tmax
• int 转 double：精确转换
• int 转 float：不会溢出，但是可能舍入