Two Square Theorem

Theorem

素数 $p$ 不能表示为一对整数的平方和当且仅当

$$p\equiv 3\text{ (mod 4)}$$

推论： 注意到

$$\begin{array}{rl}(u^2+v^2)(s^2+t^2)& =(us+vt{)}^2+(ut-vs{)}^2\\ & =(us-vt{)}^2+(ut+vs{)}^2\end{array}$$

自然数 $n$ 可以被表示为一对整数的平方和当（且仅当）它的每一 $M=4k+3$ 类的质因子均为偶数次方。