复变函数的积分

概念

有向曲线

对于简单闭曲线，默认正方向为逆时针。

积分定义

$w=f(z)$ 在 $D$ 上有定义人，$C$ 为 $D$ 上的光滑有向曲线，把曲线 $C$ 任意分成 $n$ 个弧段，分点为 $z_0,z_1,\dots ,z_n$。 在每个弧段上任意取一点 ${\zeta }_k$，作和

$$S_n=\sum _{i=1}^{n}f({\zeta }_k)(z_k-z_{k-1})$$

记 $\Delta s_k$ 为弧 $z_{k-1}{z}_k$ 的长度，$\delta =max\left\{\Delta s_k\right\}$，若 $n\to \infty$ 且 $\delta \to 0$ 若不论如何分点和 ${\zeta }_k$ 的取法，$S_n$ 有唯一极限，那么称极限值为函数 $f(z)$ 沿曲线 $C$ 的积分，记作

$${\int }_{C}f(z)dz=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k$$

若 $C$ 为闭曲线，那么记作

$${\oint }_{C}f(z)dz$$

积分存在条件与算法

设 $w=f(z)=u+iv$ 沿 $C$ 连续.

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k& =\sum _{k=1}^n[u({\xi }_k,{\eta }_k)+iv({\xi }_k,{\eta }_k)](\Delta x_k+i\Delta y_k)\\ & =\sum _{k=1}^n[u({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta x_k-v({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta y_k]+\sum _{k=1}^n[v({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta x_k+u({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta y_k]\end{array}$$ $${\int }_{C}f(z)dz={\int }_{C}udx-vdy+{\int }_{C}vdx+udy$$

形式上可以看做

$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_C(u+iv)(dx+idy)$$

由 Green 公式可以推出

$${\oint }_C\overline{z}dz={\oint }_C(x-iy)(dx+idy)={\oint }_{C}xdx+ydy+i{\oint }_C-ydx+xdy=2iS$$

积分的性质

1. ${\int }_{C^{-}}f(z)dz=-{\int }_{C}f(z)dz$
2. ${\int }_{C}kf(z)dz=k{\int }_{C}f(z)dz$
3. ${\int }_C[f(z)\pm g(z)]dz={\int }_{C}f(z)dz\pm {\int }_{C}g(z)dz$
4. $\overline{{\int }_{C}f(z)dz}={\int }_C\overline{f(z)}\overline{dz}$
5. ! 设曲线 $C$ 长度为 $L$，$|f(z)|\le M$，则 $|{\int }_{C}f(z)dz|\le ML$

Proof

$$|\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k|\le \sum _{k=1}^n|f({\zeta }_k)\Delta z_k|\le \sum _{k=1}^n|f({\zeta }_k)|\Delta s_k\le M\sum _{k=1}^n\Delta s_k=ML$$

两端取极限，有

$$|{\int }_{C}f(z)dz|\le {\int }_C|f(z)|ds\le ML$$

Example

$$I_n={\oint }_C\frac{dz}{(z-z_0{)}^{n+1}},n\in \mathbb{Z}$$

极坐标下

$$dz=d(z-z_0)=iR{e}^{i\theta }d\theta$$ $$I_n={\int }_0^{2\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }d\theta }{(R{e}^{i\theta }{)}^{n+1}}dx=\frac{i}{R^n}{\int }_0^{2\pi }{e}^{-in\theta }d\theta =\frac{i}{R^n}{\int }_0^{2\pi }[\cos n\theta -i\sin n\theta ]d\theta$$ $$I_n=\{\begin{array}{rl}0,& n\ne 0\\ 2\pi i,& n=0\end{array}$$

Cauchy-Goursat 定理

CG 定理

$w=f(z)=u+iv$ 在单连域 $D$ 上解析, $C$ 为有向闭曲线，则

$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

强形式：设 $w=f(z)$ 在有界单连域 $D$ 上解析，在 $\overline{D}$ 连续，则

$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

复合闭路定理

连续变形原理

解析函数沿曲线的积分不会因曲线的连续变形而改变。

$$ \oint_{C_{2}+C_{1}^-}f(z)dz=0\Leftrightarrow\oint_{C_{1}}f(z)dz=\oint_{C_{2}}f(z)dz $$ > [!definition] Jordan 闭曲线族 > > Jordan 闭曲线族 $\Gamma=\Gamma_{0}+\Gamma_{1}^- +\dots+\Gamma^-_n$ >

复合闭路定理

设 $w=f(z)$ 在 Jordan 闭曲线族围成的区域 $D$ 上解析，在 $\overline{D}$ 上连续，则

$${\oint }_{\Gamma }f(z)dz=0$$ $${\oint }_{{\Gamma }_0}f(z)dz=\sum _{i=1}^n{\oint }_{{\Gamma }_i}f(z)dz$$

Example

设 $a,b\in \mathbb{C},a\ne b$，$\Gamma$ 为一条不过 $a,b$ 的 Jordan 闭曲线族，求 $I={\oint }_{\Gamma }\frac{dz}{(z-a)(z-b)}$.

---

$$ I=\frac{1}{a-b}\oint_{\Gamma}\left( \frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b} \right)dz $$ 第一种情况： $$ \begin{align} I & =\frac{1}{a-b}\oint_{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}}\left( \frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b} \right)dz \\ & =\frac{1}{a-b}(2\pi i+0-(0+2\pi i))=0 \end{align} $$ 第二种情况：0 第三种情况： $$ I=\frac{1}{a-b}\oint_{\Gamma_{1}}\left( \frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b} \right)dz=\frac{2\pi i}{a-b} $$ 第四种情况：略

原函数与不定积分

Theorem

设 $w=f(z)$ 在单连通域 $D$ 上解析。 定义

$$F(z)={\int }_{z_0}^{z}f(z)dz$$

则 $F(z)$ 在 $D$ 上解析，且 $F^{\prime }(z)=f(z),\forall z\in D$

Proof

$$\begin{array}{rl}\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}& =\frac{1}{\Delta z}\left({\int }_{z_0}^{z+\Delta z}f(x)dx-{\int }_{z_0}^{z}f(x)dx\right)\\ & =\frac{1}{\Delta z}{\int }_z^{z+\Delta z}f(x)dx\\ & =\frac{1}{\Delta z}{\int }_z^{z+\Delta z}(f(z)+(f(x)-f(z)))dx\\ & =f(z)+E(\Delta z)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E(\Delta z)& =\frac{1}{\Delta z}{\int }_z^{z+\Delta z}(f(x)-f(z))dx\\ |E(\Delta z)|& \le \frac{1}{|\Delta z|}{\int }_z^{z+\Delta z}|f(x)-f(z)|dx\\ & \le \frac{1}{|\Delta z|}\cdot ϵ\cdot |\Delta z|=ϵ\end{array}$$

$\forall ϵ>0$，可以找到 $\delta >0$，使得 $|x-z|<\delta$，总有 $|f(x)-f(z)|<ϵ$ 因此

$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\left|E(\Delta z)\right|=0$$

即

$$F^{\prime }(z)=f(z)$$

Newton-Leibnitz公式

设 $w=f(z)$ 在单连通域 $D$ 上解析，则 $\forall z_0,z_1\in D$ 有

$${\int }_{z_0}^{z_1}f(z)dz=G(z){|}_{z_0}^{z_1}=G(z_1)-G(z_0)$$

其中 $G(z)$ 为 $f(z)$ 在 $D$ 上的一个原函数

分部积分公式

$f(z),g(z)$ 在单连域 $D$ 上解析，则 $\forall z_0,z_1\in D$ 有

$${\int }_{z_0}^{z_1}{f}^{\prime }(z)g(z)dz=f(z)g(z){|}_{z_0}^{z_1}-{\int }_{z_0}^{z_1}f(z)g^{\prime }(z)dz$$

多连通域上的 NL 公式

$w=f(z)$ 在 $D$ 上解析，则下列三条等价：

1. ${\oint }_{\Gamma }f(z)dz=0$，$\Gamma$ 为任意 $D$ 上闭曲线
2. $f(z)$ 在 $D$ 上具有积分路径无关性
3. $f(z)$ 在 $D$ 上具有原函数

上述任意一条成立，则 $D$ 上可以使用 NL 公式

Example

$$\begin{array}{rl}{\int }_C\ln zdz& =z\ln z{|}_1^i-{\int }_C\frac{1}{z}\cdot zdz\\ & =i\ln i-{\int }_1^{i}dz\\ & =\frac{\pi }{2}-i+1\end{array}$$

Cauchy 积分公式

Cauchy 积分公式

$w=f(z)$ 在有界单连通域 $D$ 上解析，在 $\overline{D}$ 上连续，则 $\forall z_0\in D$ 有

$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$

Proof

取以 $z_0$ 为中心，$R$ 为半径的圆周 $K$，连续变形得

$$\begin{array}{rl}RHS& =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_K\frac{f(z)dz}{z-z_0}\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_K\frac{(f(z_0)+f(z)-f(z_0))dz}{z-z_0}\\ & =f(z_0)+E\\ 2\pi i|E|& \le {\oint }_K\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}ds\\ & <\frac{ϵ}{R}{\oint }_{K}ds=2\pi ϵ\end{array}$$

因此 $E=0$

Example

$${\oint }_{|z|=2}\left(\frac{1}{z}+\overline{z}\right){\cos }^{2}zdz$$ $$\begin{array}{rl}& ={\oint }_{|z|=2}\frac{{\cos }^{2}z}{z}dz+{\oint }_{|z|=2}\overline{z}{\cos }^{2}zdz\\ & =2\pi i({\cos }^{2}z{|}_{z=0}+4{\cos }^{2}z{|}_{z=0})\end{array}$$

平均值定理

$$\begin{array}{rl}f(z_0)& =\frac{1}{2\pi i}{\int }_0^{2\pi }\frac{f(z_0+R{e}^{i\theta })iR{e}^{i\theta }d\theta }{R{e}^{i\theta }}\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(z_0+R{e}^{i\theta })d\theta \end{array}$$

解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。

解析函数的高阶导数

解析函数的高阶导数

解析函数 $f(z)$ 的导数仍为解析函数，且 $f(z)$ 的 $n$ 阶导数为

$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{n+1}}dz$$

其中 $C$ 为 $D$ 内围绕 $z_0$ 的任意正向简单闭曲线，且其内部全含于 $D$

Proof

$n=0$ 时，等价于柯西积分公式。 $n=1$ 时， 即证

$$f^{\prime }(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_K\frac{f(z)dz}{(z-z_0{)}^2}$$ $$f^{\prime }(z_0)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$ $$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_K\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$ $$f(z_0+\Delta z)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_K\frac{f(z)}{z-z_0-\Delta z}dz$$ $$\begin{array}{rl}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}& =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_K\frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_0-\Delta z)}dz\\ & =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_K\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^2}dz+\frac{1}{2\pi i}E(\Delta z)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}E(\Delta z)& =\Delta z{\oint }_K\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^2(z-z_0-\Delta z)}dz\\ |E(\Delta z)|& \le |\Delta z|{\oint }_K\frac{|f(z)|ds}{|z-z_0{|}^2|z-z_0-\Delta z|}\\ & \le |\Delta z|\frac{M}{R^2\cdot \frac{R}{2}}\cdot 2\pi R=\frac{|\Delta z|4\pi M}{R^2}\end{array}$$

因此

$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }E(\Delta z)=0$$

Morera 定理

$f(z)$ 在区域 $D$ 上连续，且对 $D$ 中任意回路 $C$ 有，

$${\oint }_{C}f(z)dz=0$$

则 $f(z)$ 在 $D$ 上解析

Example

$$I={\oint }_{|z|=2}\sin z\frac{dz}{(z^2-1{)}^2}$$

有两个奇点。分别分离，用高阶导数公式求积分。

$$I={\oint }_{C_1}+{\oint }_{C_2}=2\pi i\left({{\left(\frac{\sin z}{(z-1{)}^2}\right)}^{\prime }|}_{z=-1}+{{\left(\frac{\sin z}{(z+1{)}^2}\right)}^{\prime }|}_{z=1}\right)$$

代数基本定理的证明

$f(z)=a_n{z}^n+\cdots +a_0,n\ge 1,a_n\ne 0$ 则 $f(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上恰好有 $n$ 个零点（计算重数）

Cauchy 不等式

设在 $D:|z-z_0|<R$ 上 $f(z)$ 解析，且处处满足 $|f(z)|\le M$，则

$$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!M}{R^n}$$

$$f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}$$ $$|f^{(n)}(z_0)|\le \frac{n!}{2\pi }{\oint }_C\frac{|f(z)|ds}{|z-z_0{|}^{n+1}}\le \frac{n!}{2\pi }{\oint }_C\frac{Mds}{r^{n+1}}=\frac{n!M}{r^n}\to \frac{n!M}{R^n}$$

Liouville 定理

有界整函数必为常数

Proof

$$|f(z)|\le M$$

则

$$|f^{\prime }(z_0)|\le \frac{M}{R}$$ $$|f^{\prime }(z_0)|=0$$

代数基本定理

代数基本定理 $\iff p_n(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上至少有一个零点 反证法： 若 $p_n(z)\ne 0$，令 $f(z)=\frac{1}{p_n(z)}$，则 $f(z)$ 为整函数 取 $R$ 使得 $\forall |z|>R,f(z)<1$， 在 $|z|\le R$ 区域内，可以找到 $M$ 使得 $|f(z)|\le M$， 因此 $f$ 有界，为常数，矛盾

解析函数与调和函数

调和函数

设 $\varphi =\varphi (x,y)\subset {\mathbb{C}}^2(D)$，若满足 Laplace 方程

$$\Delta \varphi =\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=0$$

则称 $\varphi (x,y)$ 为调和函数.

Theorem

$w=f(z)=u+iv$ 在 $D$ 上解析，则 $u,v$ 在 $D$ 上调和.

• 利用 CR 方程可以证明

共轭调和函数

把使得 $u+iv$ 在 $D$ 内解析的调和函数 $v(x,y)$ 称为 $u(x,y)$ 的共轭调和函数.

• $-u$ 是 $v$ 的共轭调和函数

Theorem

设 $u=u(x,y)$ 在单连通 $D$ 上调和，则 $\exists D$ 上的解析函数 $f(z)$ 使得 $\mathrm{Re}f=u$.

$U(z)=f^{\prime }(z)=u_x-i{u}_y$ 在 $D$ 上解析，则 $U(z)$ 存在原函数，$f(z)=\int U(z)dz$

多连通域上的反例

$u=\ln \sqrt{x^2+y^2},D=C^{\ast }$ $U(z)=\frac{1}{z}$ 无原函数

Example

设 $u=x^3-3x{y}^2$，调和，求整函数 $f(z)$ ，$\mathrm{Re}f=u$ 不定积分法：

$$f^{\prime }(z)=u_x-i{u}_y=3x^2-3y^2+i\cdot 6xy=3(x+iy{)}^2=3z^2$$ $$f(z)=\int 3z^{2}dz=z^3+C$$ $$C=i{C}_1,C_1\in \mathbb{R},v=-y^3+3x^{2}y+C_1$$

偏积分法：

$$u_x=3x^2-3y^2=v_y$$ $$v=-y^3+3x^{2}y+C(x)$$ $$v_x=6xy+C^{\prime }(x)=-u_y=6xy$$ $$C(x)=C$$

Example

$f(z)=u(x^2-y^2)+iv(x,y)$ 在 $\mathbb{C}$ 上解析，求 $f(z)$ $\Delta u=0$ ，令 $t=x^2-y^2$ $u_x=u_t\frac{\partial t}{\partial x}=2x{u}_t,u_{xx}=2u_t+(2x{)}^2{u}_{tt}$ $u_y=u_t\frac{\partial t}{\partial y}=-2y{u}_t,u_{yy}=-2u_t+(2y{)}^2{u}_{tt}$ $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}=u_{tt}(4x^2+4y^2)=0$ 因此 $u_{tt}=0$ $u=C_{1}t+C_2=C_1(x^2-y^2)+C_2,C_1,C_2\in \mathbb{R}$ 接着就可以用上面的方法求出 $f(z)$