复数与复变函数

复数

$$\mathbb{N}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Q}\to \mathbb{R}\to \mathbb{C}$$ $$\begin{array}{r}z=x+iy\\ \mathrm{Re}(z)=x\\ \mathrm{Im}(z)=y\end{array}$$

棣莫弗公式

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

曲线

$z(t)=x(t)+y(t),t\in [a,b]$

• 连续曲线：$x(t),y(t)\in C[a,b]$
• 光滑曲线：$x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)连续且[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2\ne 0$
  • $[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2\ne 0$ 避免出现不光滑点
• 简单曲线：没有重点的连续曲线

复变函数

定义

Definition

非空集合 $G$ 是复数的集合，若有一个确定的规则，对于 $G$ 中的每一个复数 $z=x+iy$ 有一个或多个复数 $w=u+iv$ 与之对应，则称复变数 $w$ 是复变数 $z$ 的函数，简称复变函数，记作 $$ w=f(z)

• 单值函数：唯一对应
  • 相当于两个二元实变函数：$u=u(x,y),v=v(x,y)$
  • 主辐角函数 $w=argz\in (-\pi ,\pi ]$
• 多值函数：多个对应
  • 辐角函数 $w=Argz$，无穷个值
  • $w=z^{1/n}=|z{|}^{1/n}{e}^{i\cdot Argz/n}$ ，n 个值

极限

Definition

$w=f(z)$ 定义在 $z_0$ 的去心领域 $0<|z-z_0|<\rho |$，如果 $\exists A\in \mathbb{R},\forall ϵ>0,\exists \delta (ϵ)，使得0<|z-z_0|<\delta 时有$

$$|f(z)-A|<ϵ$$

则称 $A$ 为 $f(z)$ 当 $z$ 趋向于 $z_0$ 时的极限，记作 ${\lim }_{z\to z_0}f(z)=A$

Theorem

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=u_0+i{v}_0，则{\lim }_{z\to z_0}f(z)=A的充要条件是$

$$\begin{array}{r}\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }u(x,y)=u_0\\ \underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }v(x,y)=v_0\end{array}$$

复变函数连续 $\iff$ 分量函数连续 极限的四则运算成立

Example

证明 $f(z)=\frac{\mathrm{Re}(z)}{|z|}$ 当 $z\to 0$ 时极限不存在 令 $z=x+iy$，则

$$f(z)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

有 $u(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},v(x,y)=0$，其中

$$\underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }u(x,y)$$

不存在，则 $f(z)=\frac{\mathrm{Re}(z)}{|z|}$ 当 $z\to 0$ 时极限不存在。

连续性

若 ${\lim }_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$ 则称 $f(z)$ 在 $z_0$ 连续。

• 连续性在四则运算中保持