概统-事件的概率

概率的公理化定义

事件集类

$F \subset 2^{Ω}$ 称为事件集类若其满足 $σ$ -代数：

$Ω \in F$

若 $A \in F$ ， $A^{c} \in F$

若 ${A_{i}}_{i = 1}^{\infty} \subset F$ ， $\sum_{i = 1}^{\infty} A_{i} \in F$

概率函数

概率函数 $P : F \to R$ 是满足以下公理的映射： 4. $P (A) \geq 0, \forall A \in F$ （非负性） 5. $P (Ω) = 1$ （归一性） 6. $\forall A_{i} \in F, A_{i} A_{j} = \emptyset, \forall i \neq = j, P (\sum_{i = 1}^{\infty} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{\infty} P (A_{i})$ （加法公理）

$(Ω, F, P)$ 称为一个概率空间。

性质

$P (\emptyset) = 0$

$P (A) + P (A^{c}) = 1$

$P (A) \leq 1$

$\forall A_{i} \in F, A_{i} A_{j} = \emptyset, \forall i \neq = j, P (\sum_{i = 1}^{n} A_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$ （有限可加）

若 $A \subset B$ ，则 $P (A) \leq P (B)$

$P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B)$

容斥原理

$P (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n}) = i = 1 \sum n P (A_{i}) - 1 \leq i_{1} < i_{2} \leq n \sum P (A_{1} A_{2}) + \dots + (- 1)^{n - 1} P (A_{1} A_{2} \dots A_{n})$

配对问题

$A_{i}$ 为第 $i$ 个人拿到自己的，
$P (A_{i}) = \frac{1}{n} = \frac{( n - 1 )!}{n !}$ $A_{1}^{c} A_{2}^{c} \dots A_{n}^{c} = (A_{1} + A_{2} + \dots + A_{n})^{c}$ $i_{1} < i_{2} < \dots < i_{r} \sum = \frac{( n - r )!}{n !} \cdot (r n) = \frac{( n - r )!}{n !} \cdot \frac{n !}{( n - r )! r !} = \frac{1}{r !}$
所求概率
$P_{n} = 1 - (1 - \frac{1}{2 !} + \dots + (- 1)^{n + 1} \frac{1}{n !})$
由 Taylor 级数， $P_{n} \to \frac{1}{e}, n \to \infty$

条件概率

条件概率

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}, P (B) > 0$

性质

$P (A B) P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A ∣ B) P (B) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} A_{2} \dots A_{n - 1})$

事件独立性

Definition

$A, B$ 相互独立 $\Leftrightarrow P (A B) = P (A) P (B)$ $A, B, C$ 相互独立 $\Leftrightarrow P (A BC) = P (A) P (B) P (C)$ 且 $A, B, C$ 两两独立事件列 $A_{i}$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $\forall m,$ 任取 $m$ 个事件 $A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{m}}$ 都有 $P (A_{i_{1}} \dots A_{i_{m}}) = P (A_{i_{1}}) \dots P (A_{i_{m}})$

$P (A ∣ B) = P (A)$
两两独立 $\neq =$ 相互独立

条件独立

$A, B$ 关于事件 $E$ 相互独立（ $A$ 和 $B$ 在条件 $E$ 下条件独立） $\Leftrightarrow P (A B ∣ E) = P (A ∣ E) P (B ∣ E)$

Bayes 公式

Theorem

设 $B_{i}$ 为 $Ω$ 的一个分割：

$\sum_{i} B_{i} = Ω$

$B_{I} B_{j} = \emptyset, \forall i \neq = j$

$P (B_{i}) > 0, \forall i$

则有
$P (A) = P (i \sum B_{i} A) = i \sum P (B_{i} A) = i \sum P (A ∣ B_{i}) P (B_{i})$

Bayes 公式

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ^{c} ) P ( B ^{c} )}$ $P (B_{i} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{i} ) P ( B _{i} )}{\sum _{j} P ( A ∣ B _{j} ) P ( B _{j} )}$

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