留数

孤立奇点

Definition

若 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，但在某个 $B_{\delta }^{\ast }(z_0)$ 内解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，否则称 $z_9$ 为 $f(z)$ 的非孤立奇点。

分类

$f(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-z_0{)}^n$

可去奇点

洛朗级数中不含负幂项。 $f(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(z-z_0{)}^n$ 有 ${\lim }_{z\to z_0}f(z)=c_0$

Example

若定义 $f(z_0)=c_0$，则 $f(z)$ 在 $B_{\delta }(z_0)$ 解析

$$\frac{\sin z}{z}=1-\frac{1}{3!}{z}^2+\frac{1}{5!}{z}^4-\dots$$

若定义 $f(0)=1$，则 $f(z)$ 为整函数

Theorem

设 $z_0\in \mathbb{C}$ 为 $f(z)$ 孤立奇点，则下列三条等价：

• $z_0$ 为可去奇点
• ${\lim }_{z\to z_0}f(z)=A\in \mathbb{C}$
• $f(z)$ 在某个 $z_0$ 的空心领域内有界

Proof

$(3)\Rightarrow (1):$ $|f(z)|\le M$ $f(z)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-z_0{)}^n$

$$\begin{array}{rl}{c}_n& =\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C_r}\frac{f(z)dz}{(z-z_0{)}^{n+1}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}|c_n|& \le \frac{1}{2\pi }{\oint }_{C_r}\frac{|f(z)|ds}{|z-z_0{|}^{n+1}}\\ & \le \frac{1}{2\pi }{\oint }_{C_r}\frac{Mds}{r^{n+1}}=\frac{M}{r^n}\end{array}$$

$\forall n<0,c_n=0$

极点

极点

洛朗级数中只有有限多个负幂项且最高系数非零的负幂次为 $-m$，则 $z_0$ 称为 $f(z)$ 的 $m$ 级极点. 若 $m=1$，称为简单极点.

$$f(z)=\frac{1}{(z-z_0{)}^m}[c_{-m}+c_{-m+1}(z-z_0)+\dots ]=\frac{g(z)}{(z-z_0{)}^m}$$

• ${\lim }_{z\to z_0}f(z)=\infty$

Example

$$\frac{\sin z}{z^5}=\frac{1}{z^5}\left(z-\frac{z^3}{3!}+\dots \right)$$

$z=0$ 是 4 级极点.

$$\frac{z}{{\sin }^{5}z}=\frac{1}{\frac{{\sin }^{5}z}{z}}$$

$z=0$ 是 $\frac{{\sin }^{5}z}{z}$ 的 4 级零点，因此是 $\frac{z}{{\sin }^{5}z}$ 的 4 级极点.

Theorem

$z_0\in \mathbb{C}$ 是 $f(z)$ 的孤立奇点，则下列四条等价：

• $z_0$ 为 $m$ 级极点
• 在某个 $z_0$ 的去心领域内 $f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0{)}^m}$，其中 $g(z)$ 在该去心领域内解析且不取 0
• ${\lim }_{z\to z_0}(z-z_0{)}^{m}f(z)=A\in {\mathbb{C}}^{\ast }$
• $z_0$ 为 $\frac{1}{f(z)}$ 的 $m$ 级零点

Proof

$(3)\Rightarrow (4):$ 令 $g(z)=(z-z_0{)}^{m}f(z)$ ${\lim }_{z\to z_0}g(z)=A\in {\mathbb{C}}^{\ast }$，则 $z_0$ 为 $g(z)$ 可去奇点 $g(z_0)=A$ $\frac{1}{f(z)}=\frac{(z-z_0{)}^m}{g(z)}=(z-z_0{)}^m\varphi (z)$ 因此 $z_0$ 为 $\frac{1}{f(z)}$ 的 $m$ 级零点

本性奇点

本性奇点

洛朗级数中含无数个负幂项.

Example

$$e^{1/z}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!\cdot z^2}+\dots$$

Weierstrass Theorem

设 $z_0\in \mathbb{C}$ 为 $f(z)$ 本性奇点，则对任意的 $A\in \overline{\mathbb{C}}$，都存在 $\{z_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subset B_{\delta }^{\ast }(z_0)$ 使得

• ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z_0$
• ${\lim }_{n\to \infty }f(z_n)=A$

Picard Theorem

设 $z_0\in \mathbb{C}$ 为 $f(z)$ 本性奇点，则对任意 $A\in \mathbb{C}$，至多有一个例外值 $A_0$，都存在 $\{z_n{\}}_{n=1}^{\infty }\subset B_{\delta }^{\ast }(z_0)$ 使得

• ${\lim }_{n\to \infty }{z}_n=z_0$
• $f(z_n)=A$

Example

$$e^{1/z}=A\ne 0$$ $$\iff LnA=\frac{1}{z}$$ $$z_n=\frac{1}{\ln A+i\cdot 2n\pi }$$

奇点 $\infty$

Definition

若 $f(z)$ 在 $\infty$ 点空心领域 $R<|z|<+\infty$ 内解析，则称 $\infty$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，否则称 $\infty$ 为 $f(z)$ 的非孤立奇点.

令 $\zeta =\frac{1}{z}$，则

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_{-n}{\zeta }^n=\varphi (\zeta )$$

$\infty$ 的奇点类别定义为 $\zeta =0$ 的奇点类别

Theorem

设 $z_0\in \overline{\mathbb{C}}$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点，

• $z_0$ 为可去奇点 $\iff {\lim }_{z\to z_0}f(z)=A\in \mathbb{C}$
• $z_0$ 为极点 $\iff {\lim }_{z\to z_0}f(z)=\infty$
• $z_0$ 为本性奇点 $\iff {\lim }_{z\to z_0}f(z)$ 不存在且不为 $\infty$

Example

设 $f(z)=e^{1/(z-1)}+\frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z}$ 找出 $f(z)$ 在 $\overline{\mathbb{C}}$ 上的所有奇点并分类

• $0$，${\lim }_{z\to 0}\left[\frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z}\right]=-\frac{1}{2}$ 可去
• $1$，本性奇点
• $2n\pi i,n\ne 0$，$e^z-1$ 的 1 阶零点，1 级奇点
• $\infty$，非孤立奇点

留数

$z_0\in \mathbb{C}$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n(z-z_0{)}^n$$

且有

$$c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{C}f(z)dz$$

定义 $\text{Res}[f(z),z_0]=c_{-1}$ 为 $f(z)$ 在 $z_0$ 点留数。

若 $z_0$ 为 $f(z)$ 可去奇点，则 $\text{Res}[f(z),z_0]=0$

留数定理

设 $f(z)$ 在单连通域 $D$ 内除优先个孤立奇点 $z_1,z_2,\dots ,z_n$ 处处解析，$C\subset D$ 为一条包含各奇点的正向简单闭曲线，则

$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\text{Res}[f(z),z_k]$$

由复合闭路定理可以简单证明。

留数计算规则

Rule 1

设 $z_0\in \mathbb{C}$ 为 $f(z)$ 简单极点，则 $\text{Res}[f(z),z_0]={\lim }_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$

Rule 2

设 $f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$，$P(z),Q(z)$ 在 $z_0\in \mathbb{C}$ 解析，$P(z_0)\ne 0,Q(z_0)=0,Q^{\prime }(z_0)\ne 0$（即 $z_0$ 为 $Q(z)$ 的简单零点），则 $z_0$ 为 $f(z)$ 简单极点，有

$$\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{P(z_0)}{Q^{\prime }(z_0)}$$

Rule 3

设 $z_0\in \mathbb{C}$ 为 $f(z)$ 的 $m(\ge 1)$ 级极点，则 $\forall k\ge m$ 有

$$\text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(k-1)!}\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{d^{k-1}}{d{z}^{k-1}}[(z-z_0{)}^{k}f(z)]$$

用洛朗展开可以简单证明.

Example

$$f(z)=\frac{\cos \frac{\pi }{2}z}{z(z-1{)}^2}$$

计算 $I={\oint }_{|z|=2}f(z)dz$

$$I=2\pi i(\text{Res}[f(z),0]+\text{Res}[f(z),1])$$

$z=0$ 为简单极点

$$\text{Res}[f(z),0]=\underset{z\to 0}{\lim }zf(z)=1$$

$z=1$ 为简单极点

$$\text{Res}[f(z),1]=\underset{z\to z_0}{\lim }(z-1)f(z)=-\frac{\pi }{2}$$

也可用

$$\text{Res}[f(z),1]=\underset{z\to 1}{\lim }[(z-1{)}^{2}f(z){]}^{\prime }=-\frac{\pi }{2}$$

Example

$$f(z)=\frac{z-\sin z}{z^6}$$

求 $I={\oint }_{|z|=2}f(z)dz$ $I=2\pi i\text{Res}[f(z),0]$ $f(z)=\frac{1}{z^6}\left[z-\left(z-\frac{z^3}{3!}+\dots \right)\right]$ 直接得到 $c_{-1}=－\frac{1}{120}$ $z=0$ 为 3 级极点 也可用 Rule 3 解决

Example

$$I_n={\oint }_{|z|=2}\frac{z}{z^n-1}dz,n\ge 2$$ $$I_n=2\pi i\sum _{n=0}^{n-1}\text{Res}[f(z),z_k]$$ $$\text{Res}[f(z),z_k]=\frac{z_k}{(z^n-1{)}^{\prime }{|}_{z=z_k}}=\frac{z_k^2}{n}$$ $$I_n=\{\begin{array}{r}2\pi i,n=2\\ 0,n\ge 3\end{array}$$

$\infty$ 处的留数

若 $\infty$ 为孤立奇点

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{z}^n,R<|z|<\infty$$

定义 $\infty$ 处的留数为 $\text{Res}[f(z),\infty ]=-c_{-1}$

全留数定理

设 $f(z)$ 在 $\bar{\mathbb{C}}$ 上除去有限个孤立奇点（包括 $\infty$）后解析，则 $f(z)$ 在各个奇点处（包括 $\infty$）的留数之和为 0

Rule 4

$\text{Res}[f(z),\infty ]=\text{Res}\left[-\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right]$

• ! $\infty$ 若为可去奇点，不一定有 $\text{Res}[f(z),\infty ]=0$

Proof

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{z}^n,R<|z|<\infty$$

令 $\zeta =\frac{1}{z}$，

$$f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_{-n}{\zeta }^n=\varphi (\zeta ),0<|\zeta |<\frac{1}{R}$$ $$\frac{\varphi (\zeta )}{{\zeta }^2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_{-n}{\zeta }^{n-2}$$

因此有

$$c_{-1}=\text{Res}\left[\frac{\varphi (\zeta )}{{\zeta }^2},0\right]=\text{Res}\left[\frac{1}{{\zeta }^2}f\left(\frac{1}{\zeta }\right),0\right]=\text{Res}\left[\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right]$$

Example

$$I_n={\oint }_{|z|=2}\frac{z}{z^n-1}dz,n\ge 2$$

也可用全留数定理解决：

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =-2\pi i\text{Res}\left[\frac{z}{z^n-1},\infty \right]\\ & =2\pi i\text{Res}\left[\frac{1}{z^2}\frac{\frac{1}{z}}{z^{-n}-1},0\right]\\ & =2\pi i\text{Res}\left[\frac{z^{n-3}}{1-z^n},0\right]\end{array}$$

Example

$$f(z)=\frac{z{e}^{1/z}}{z-1}$$

求 $I={\oint }_{|z|=2}f(z)dz$

$$\begin{array}{rl}I& =2\pi i(\text{Res}[f,1]+\text{Res}[f,0])\\ & =\dots \end{array}$$

或用全留数定理

$$\begin{array}{rl}I& =-2\pi i\text{Res}[f,\infty ]\\ & =2\pi i\text{Res}\left[\frac{1}{z^2}\frac{\frac{1}{z}{e}^z}{\frac{1}{z}-1},0\right]\\ & =2\pi i\text{Res}\left[\frac{e^z}{z^2(1-z)},0\right]\end{array}$$

Example

$$f(z)=\frac{1}{(z-3)(z+i{)}^{2025}(z-1{)}^{2026}}$$

求 $I={\oint }_{|z|=2}f(z)dz$

$$I=-2\pi i(\text{Res}[f,3]+\text{Res}[f,\infty ])$$

$\text{Res}[f,3]$ 易得，

$$\begin{array}{rl}\text{Res}[f,\infty ]& =-\text{Res}\left[\frac{1}{z^2}\frac{1}{\left(\frac{1}{z}-3\right){\left(\frac{1}{z}+i\right)}^{2025}{\left(\frac{1}{z}-1\right)}^{2026}},0\right]\\ & =0\end{array}$$

Theorem

$f(z)=\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$ 为有理函数，且 $m-n\ge 2$，则 $\text{Res}[f,\infty ]=0$

留数在定积分计算中的应用

三角有理函数

形如 $I={\int }_0^{2\pi }R(\cos \theta ,\sin \theta )d\theta$，$R$ 为二元有理函数 令 $z=e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta$

$$\cos \theta =\frac{z+\overline{z}}{2}=\frac{z^2+1}{2z}$$ $$\sin \theta =\frac{z-\overline{z}}{2i}=\frac{z^2-1}{2iz}$$ $$dz=i{e}^{i\theta }d\theta$$ $$d\theta =\frac{dz}{iz}$$ $$I={\oint }_{|z|=1}R\left(\frac{z^2+1}{2z},\frac{z^2-1}{2iz}\right)\frac{dz}{iz}$$ $$f(z)=R\left(\frac{z^2+1}{2z},\frac{z^2-1}{2iz}\right)\frac{1}{iz}$$

要求 $f(z)$ 在 $|z|=1$ 上无奇点， 令 $\{z_k\}$ 为 $f(z)$ 在 $|z|<1$ 内所有极点 则 $I=2\pi i{\sum }_k\text{Res}[f(z),z_k]$

Example

$$I(a)={\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{a-\cos \theta },a>1$$ $$\begin{array}{rl}I(a)& ={\oint }_{|z|=1}\frac{\frac{dz}{iz}}{a-\frac{z^2+1}{2z}}\\ & =-\frac{2}{i}{\oint }_{|z|=1}\frac{dz}{z^2-2az+1}\\ & =2i\cdot 2\pi i\text{Res}\left[\frac{1}{z^2-2az+1},z_1\right]\\ & =-\frac{4\pi }{(z^2-2az+1{)}^{\prime }{|}_{z=z_1}}\\ & =\dots \end{array}$$

Example

$$\begin{array}{rl}I(p)& ={\int }_0^{2\pi }\frac{\cos m\theta d\theta }{1-2p\cos \theta +p^2}\\ \tilde{I}(p)& ={\int }_0^{2\pi }\frac{\sin m\theta d\theta }{1-2p\cos \theta +p^2}\\ J(p)& =I(p)+i\tilde{I}(p)={\int }_0^{2\pi }\frac{e^{im\theta }d\theta }{1-2p\cos \theta +p^2}\\ & ={\oint }_{|z|=1}\frac{\frac{z^{m}dz}{iz}}{1+p^2-2p\frac{z^2+1}{2z}}\\ & =-\frac{1}{i}{\oint }_{|z|=1}\frac{z^{m}dz}{p(z^2+1)-z(p^2+1)}\\ & =i{\oint }_{|z|=1}\frac{z^{m}dz}{(z-p)(pz-1)}\\ & =i\cdot 2\pi i\text{Res}\left[\frac{z^m}{(z-p)(pz-1)},p\right]\\ & =2\pi \cdot \frac{z^m}{1-p^2}\\ I(p)& =\mathrm{Re}J(p)=2\pi \cdot \frac{z^m}{1-p^2}\\ \tilde{I}(p)& =\mathrm{Im}J(p)=0\end{array}$$

有理函数

形如 $I={\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)dx$ $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$，且 $m-n\ge 2$，$R(z)=\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$ 在 $\mathbb{R}$ 上无极点. 令 $\{z_k\}$ 为 $R(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上所有极点 则 $I=2\pi i{\sum }_{\mathrm{Im}{z}_k>0}\text{Res}[f(z),z_k]$

Example

$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{1+x^4}$ $z_k=e^{i(\pi +2k\pi )/4},k=0,1,2,3$

$$I=2\pi i\left(\text{Res}\left[\frac{1}{z^4+1},z_0\right]+\text{Res}\left[\frac{1}{z^4+1},z_1\right]\right)$$

有理函数乘三角函数

形如 $I={\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)e^{iax}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)\cos axdx+i{\int }_{-\infty }^{\infty }R(x)\sin axdx,a\in \mathbb{R},a\ne 0$ 其中 $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$，$m-n\ge 1$ 且 $R(z)$ 在 $\mathbb{R}$ 上无极点 则

$$I=\{\begin{array}{r}2\pi i\sum _{\mathrm{Im}{z}_k>0}\text{Res}[R(z)e^{iaz},z_k],a>0\\ -2\pi i\sum _{\mathrm{Im}{z}_k>0}\text{Res}[R(z)e^{iaz},z_k],a<0\end{array}$$

Example

$$\begin{array}{rl}I(b)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x\sin x}{x^2+b^2}dx,b>0\\ & =\mathrm{Im}J(b)\\ J(b)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x{e}^{ix}}{x^2+b^2}dx\\ & =2\pi i\text{Res}\left[\frac{z{e}^{iz}}{z^2+b^2},bi\right]\\ & =2\pi i\cdot \frac{z{e}^{iz}}{(z^2+b^2{)}^{\prime }{|}_{z=bi}}\\ & =\pi e^{bi}i\\ I(b)& =-\pi \sin b\end{array}$$