解析函数

导数与解析函数

导数

Definition

设函数 $w=f(z)$ 定义于区域 $D$，$z_0$ 为 $D$ 中一点，点 $z_0+\Delta z$ 不出 $D$ 的范围，如果极限

$$\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0)-f(z_0)}{\Delta z}$$

存在，那么就说 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导，极限值称为 $f(z)$ 在 $z_0$ 的导数，记作

$$f^{\prime }(z_0)=\underset{\Delta z\to 0}{\lim }\frac{f(z_0)-f(z_0)}{\Delta z}$$

求导法则与实变函数基本一致。

Example

$f(z)=\overline{z}=x-iy$ 的导数？

$$\frac{\Delta w}{\Delta z}=\frac{\overline{z+\Delta z}-\overline{z}}{\Delta z}=\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$$

${\lim }_{\Delta z\to 0}\frac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}$显然不存在，故 $f(z)=\overline{z}$ 处处不可导。

可微性

Definition

$$\Delta w=f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f^{\prime }(z_0)\Delta z+\rho (\Delta z)\Delta z$$

若 ${\lim }_{z\to z_0}\rho (\Delta z)=0$ ，称 $f(z)$ 在 $z_0$ 可微。

$$dw=f^{\prime }(z_0)dz$$

$w=f(z)$ 在 $z_0$ 可导与在 $z_0$ 可微等价。

解析函数

Definition

$f(z)$ 在 $z_0$ 和 $z_0$ 的领域内处处可导，称 $f(z)$ 在 $z_0$ 解析。 如果 $f(z)$ 在区域 $D$ 内每一点解析，则称 $f(z)$ 在 $D$ 内解析。 如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 不解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的奇点。

奇点分类：

• 无定义
• 不连续
• 不可导：$\overline{z}$
• 可导但不解析 ：$|z{|}^2$ 在原点

两解析函数的和差积商（除使分母为 0 的点）为解析函数。

Example

1. $P_n(z)=a_n{z}^n+\cdots +a_{1}z+a_0,a_i\in \mathbb{C}$ 在 $\mathbb{C}$ 上解析
2. 有理函数

$$\frac{P_n(z)}{Q_n(z)}$$

在 $\mathbb{C}\setminus \left\{z|Q_n(z)=0\right\}$ 解析

函数可导（解析）的条件

CR 方程

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

Theorem

$w=f(z)=u+iv$ 在 $z_0=x_0+i{y}_0$ 可导 $\iff u,v$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微且满足 CR 方程

充分性

若 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 $z_0=x_9+i{y}_0$ 可导，

$$\begin{array}{rl}\Delta w& =\Delta u+i\Delta v\\ & =f^{\prime }(z_0)\Delta z+\rho (\Delta z)\Delta z\\ & =(a+ib)(\Delta x+i\Delta y)+({\rho }_1+i{\rho }_2)(\Delta x+i\Delta y)\\ & =(a\Delta x-b\Delta y+{\rho }_1\Delta x-{\rho }_2\Delta y)+i(b\Delta x+a\Delta y+{\rho }_2\Delta x+{\rho }_1\Delta y)\end{array}$$

有

$$\{\begin{array}{r}\Delta u=a\Delta x-b\Delta y+{\rho }_1\Delta x-{\rho }_2\Delta y\\ \Delta v=b\Delta x+a\Delta y+{\rho }_2\Delta x+{\rho }_1\Delta y\end{array}$$

因为 ${\lim }_{\Delta z\to 0}{\rho }_1={\lim }_{\Delta z\to 0}{\rho }_2=0$ 因此 $u(x,y),v(x,y)$ 在 $z_0$ 可微，且

$$\{\begin{array}{rl}{u}_x& =a,u_y=-b\\ v_x& =b,v_y=a\end{array}$$

因此

$$\{\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial x}& =\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}& =-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$$

必要性

若 $u,v$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微且满足 CR 方程，

$$\begin{array}{rl}\Delta w& =\Delta u+i\Delta v\\ & =u_x\Delta x+u_y\Delta y+o(\sqrt{x^2+y^2})+i(v_x\Delta x+v_y\Delta y+o(\sqrt{x^2+y^2}))\\ & =(u_x+i{v}_x)\Delta x+(-i{u}_y+v_y)i\Delta y+\rho (\Delta z)\Delta z\\ & =(u_x+i{v}_x)(\Delta x+i\Delta y)+\rho (\Delta z)\Delta z\\ & =f^{\prime }(z_0)\Delta z+\rho (\Delta z)\Delta z\end{array}$$

有 $f(z)$ 在 $z_0$ 可导，且

$$f^{\prime }(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y}$$

Theorem

$w=f(z)=u+iv$ 在 $D$ 内解析 $\iff u,v$ 在 $D$ 内可微且满足 CR 方程

• $f(z)\equiv C\iff f^{\prime }(z)\equiv 0$

Example

$f(z)=\overline{z}=x-iy$，有

u_x=1,v_y=-1 $$ 不满足 CR 方程，因此处处不可导。

Example

$f(z)=e^x(\cos \theta +i\sin \theta )=e^x{e}^{iy}=e^{x+iy}=e^z$,

\begin{align} u=e^x\cos \theta,v=e^x\sin \theta \\ u_x=e^x\cos \theta,u_y=-e^x\sin \theta \\ v_x=e^x\sin \theta,v_y=e^x\cos\theta \end{align} $$ 因此 $f(z)$ 处处解析，且

f’(z)=u_x+iv_x=e

形式导数

$u=u(x,y)$，设 $z=x+iy$，有

$$\{\begin{array}{r}x=\frac{z+\overline{z}}{2}\\ y=\frac{z-\overline{z}}{2i}\end{array}$$ \left\{ \begin{align} x_z&=\frac{1}{2},&x_\overline{z}&=\frac{1}{2} \\ y_z&=\frac{1}{2i},&y_\overline{z}&=-\frac{1}{2i} \end{align} \right. $$\begin{array}{rl}u(x,y)& =u\left(\frac{z+\overline{z}}{2},\frac{z-\overline{z}}{2i}\right)\\ \frac{\partial u}{\partial z}& =\frac{1}{2}{u}_x+\frac{1}{2i}{u}_y\\ \frac{\partial u}{\partial \overline{z}}& =\frac{1}{2}{u}_x-\frac{1}{2i}{u}_y\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}f(z,\overline{z})& =u(x,y)+iv(x,y)\\ \frac{\partial f}{\partial z}& =\frac{1}{2}{u}_x+\frac{1}{2i}{u}_y+\frac{i}{2}{v}_x+\frac{1}{2}{v}_y\\ & =\frac{1}{2}(u_x+v_y)+\frac{1}{2i}(u_y-v_x)\\ \frac{\partial f}{\partial \overline{z}}& =\frac{1}{2}{u}_x-\frac{1}{2i}{u}_y+\frac{i}{2}{v}_x-\frac{1}{2}{v}_y\\ & =\frac{1}{2}(u_x-v_y)-\frac{1}{2i}(u_y+v_x)\end{array}$$

• $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=0$ 当且仅当满足 CR 方程。

因此 $f(z)$ 可导 $\iff$ $f(z,\overline{z})$ 与 $\overline{z}$ 无关。

形式导数能更简单地解释某些函数是否可导。

Example

1. $f(z)=\overline{z}$，有 $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=1$，因此处处不可导
2. $f(z)=|z{|}^2=z\cdot \overline{z}$ ，有 $\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}=z$，当且仅当 $z=0$ 可导

初等函数

指数函数

• $f(z)$ 为解析函数
• $f(z)=f^{\prime }(z)$
• $\mathrm{Im}(z)=0$ 时，$f(z)=e^x$

存在性：令 $w=f(z)=e^x(\cos y+i\sin y)$

唯一性：$f^{\prime }(z)=f(z)=u+iv=u_x-i{u}_y$

$$\{\begin{array}{rl}& u_x=v_y=u\\ & u_y=-v_x=-v\\ & u(x,0)=e^x\\ & v(x,0)=0\end{array}$$

指数函数

$w=\exp z=e^x(\cos y+i\sin y)$

指数函数性质

1. $\exp z$ 是整函数，且 ${\exp }^{\prime }z=\exp z$
2. $\exp (z_1+z_2)=\exp z_1\cdot \exp z_2$
3. 周期性：$\exp (z+T)=\exp z,\forall z\in \mathbb{C},T=2k\pi i,k\in \mathbb{Z}$
4. $|\exp z|=e^x$
5. $\exp z\ne 0,\forall z\in \mathbb{C}$

对数函数

定义为指数函数的反函数。

把满足 $e^w=z$ 的函数 $w=f(z)$ 称为对数函数。

$e^u{e}^{iv}=e^w=z=|z|e^{Argz}$

有

$$\{\begin{array}{rl}& e^u=|z|\\ & iv=Argz=argz+2k\pi \end{array}$$

对数函数

$w=Lnz=\ln |z|+iArgz(z\ne 0)$ $w_0=\ln z=\ln |z|+iargz$ 称为 $Lnz$ 的主值

对数函数性质

1. $Lnz$ 任意分支在 $\mathbb{C}\setminus (-\infty ,0]$ 解析，且 $\frac{dLnz}{dz}=\frac{1}{z}$
2. $Ln(z_1{z}_2)=Ln{z}_1+Ln{z}_2$ ($\ln (z_1{z}_2)=\ln z_1+\ln z_2$ 不成立)
3. $Ln{z}^n=\underset{n个}{\underbrace{Lnz+\cdots +Lnz}}$ ($Ln{z}^n=nLnz$ 不成立，周期改变)
4. $Ln\sqrt[n]{z}=\frac{1}{n}Lnz$（$\sqrt[n]{z}$ 有 $n$ 个可能值）

Example

1. $Ln(-1)=\ln |-1|+iarg(-1)+2k\pi i=(2k+1)i\pi ,k\in \mathbb{Z}$
2. $Lni=ln|i|+iargi+2k\pi i=\left(2k+\frac{1}{2}\right)\pi i,k\in \mathbb{Z}$

幂函数

幂函数

$w=z^b=\exp (bLnz)=\exp (b(\ln z+2k\pi i))=e^{b\ln z}\cdot e^{2bk\pi i}$

• $b\in \mathbb{R}$
  • $b\in \mathbb{Z},e^{2bk\pi i}\equiv 1$，单值函数
  • $b\in \mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z},b=\frac{m}{n},n\ge 2,(n,m)=1$，$\exp \left(\frac{2mk\pi i}{n}\right)$，n 个值
  • $b\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$，无穷多值
• $b\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$，无穷多值

幂函数性质

1. $w=z^b$ 的任意分支在 $\mathbb{C}\setminus (-\infty ,0]$ 解析
2. $z^{a+b}=z^a{z}^b$，$z^{-a}=\frac{1}{z^a}$, $(z^b{)}^{\prime }=b{z}^{b-1}$ 在取同一分支时成立

Example

$i^i=e^{iLni}=e^{(2k+1/2)\pi }\in \mathbb{R},k\in \mathbb{Z}$

三角函数

三角函数

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

三角函数性质

1. $\cos z,\sin z$ 为整函数，且 $(\cos z{)}^{\prime }=-\sin z,(\sin z{)}^{\prime }=\cos z$
2. 奇偶性：$\sin (-z)=-\sin z,\cos (-z)=\cos z$
3. 周期性：$\sin z,\cos z$ 以 $T=2k\pi$ 为周期
4. $\cos z,\sin z$ 无界！
5. 和差角公式：$\sin (z_1\pm z_2)=\sin z_1\cos z_2\pm \sin z_2\cos z_1$，$\cos (z_1\pm z_2)=\cos z_1\cos z_2\mp \sin z_1\sin z_2$
6. $e^{iz}=\cos z+i\sin z$

双曲函数

双曲函数

$$chz=\frac{e^z+e^{-z}}{2},shz=\frac{e^z-e^{-z}}{2}$$

双曲函数性质

1. $chz,shz$ 是整函数，且 $(chz{)}^{\prime }=shz,(shz{)}^{\prime }=chz$
2. 奇偶性：$sh(-z)=-shz,ch(-z)=chz$
3. 周期性：$chz,shz$ 以 $T=2k\pi i$ 为周期
4. $chz,shz$ 无界
5. 和差角公式：$ch(z_1\pm z_2)=ch{z}_{1}ch{z}_2\pm sh{z}_{1}sh{z}_2$，$sh(z_1\pm z_2)=sh{z}_{1}ch{z}_2\pm ch{z}_{1}sh{z}_2$
6. $e^z=chz+shz$