大物-光的干涉

杨氏双缝干涉

$S_{1}$ 和 $S_{2}$ 为两个同相波源。 两个波源到 $P$ 点的光程差为 $$ \delta=r_{2}-r_{1}\approx d\sin\theta $$ 它们在 $P$ 点引起的振动的方向近似相同，根据叠加原理，当光程差为波长的整数倍， $$ \delta=d\sin\theta=\pm k\lambda $$ 或从 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 发出的光到达 $P$ 点的相差为 $2\pi$ 的整数倍， $$ \Delta \phi=\frac{2\pi\delta}{\lambda}=\pm 2k\pi $$ 时，两束光在 $P$ 点叠加的合振幅最大，光强最大，形成明亮的条纹，这种叠加称作**相长干涉**。

当光程差为波长的半整数倍，

$$\delta =d\sin \theta =\pm (2k-1)\frac{\lambda }{2}$$

或到达 $P$ 点两束光的相差为 $2\pi$ 的半整数倍，

$$\Delta \varphi =\frac{2\pi \delta }{\lambda }=\pm (2k-1)\pi$$

时，叠加后的合振幅最小，形成暗纹，这种叠加称为相消干涉。

光程差为其他值的各点，光强介于最亮和最暗之间。

明纹中心位置为

$$x=\pm k\frac{D}{d}\lambda$$

暗纹中心位置为

$$x=\pm (2k-1)\frac{D}{2d}\lambda$$

这表明 $\Delta x$ 与级次无关，条纹等间距排列。

光的强度正比于振幅的平方，

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos \Delta \varphi$$

定义衬比度 $V$，

$$V=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}$$

相干光

要发生干涉现象，两列波必须振动方向相同，频率相同，相位差恒定，这些要求叫波的相干条件。 原子从高能级跃迁到低能级时，向外发射电磁波。这一跃迁过程经历的时间很短，这也就是一个原子发光所持续的时间。因此每个原子每次发光只能发出一段长度有限、频率一定、振动方向一定的光波，这一段光波叫做一个波列。

普通光源内，原子的发光不是同步的，各次发出的波列的频率和振动方向不同，观测不到稳定的干涉现象。

单色性 & 时间相干性

光源发的光总是包含一定频率范围，这种光称为准单色光。 波长为 $\lambda$ 的光在 $\lambda$ 左右的其他波长成分的强度迅速减小，这构成了一条谱线。 强度等于最大强度的一半的波长范围 $\Delta \lambda$ 叫做谱线宽度。$\Delta \lambda$ 越小，光的单色性越好。

非单色性对干涉条纹的影响

由于波长不同，非单色光中不同波长的光产生的同级次干涉条纹将彼此错开。 随着 $x$ 的增大，干涉条纹的明暗对比会减小，当 $x$ 增大到某一值后，干涉条纹消失。

对于谱线宽度为 $\Delta \lambda$ 的准单色光，干涉条纹消失的位置是波长为 $\lambda +\Delta \lambda /2$ 的光的 $k$ 级明纹与波长为 $\lambda -\Delta \lambda /2$ 的光的 $k+1$ 级明纹重合的位置。

$${\delta }_{max}=\left(\lambda +\frac{\Delta \lambda }{2}\right)k=\left(\lambda -\frac{\Delta \lambda }{2}\right)(k+1)$$

因此

$$k\Delta \lambda =\lambda -\frac{\Delta \lambda }{2}$$

近似可看作

$$k=\frac{\lambda }{\Delta \lambda }$$

而

$${\delta }_{max}=\lambda k=\frac{{\lambda }^2}{\Delta \lambda }$$

即 $\Delta \lambda$ 越大，单色性越差，干涉条纹的最大级次 $k$ 和最大光程差 ${\delta }_{max}$ 越小。 ${\delta }_{max}$ 称为相干长度。

从波列角度理解，光源发出若干个波列，以 $a_1$ 和 $a_2$、$b_1$ 和 $b_2$ 分别表示同一波列分成的两部分，它们是相干的。

• 当光程差不太大时，可以保证 $a_1$ 和 $a_2$ 相遇，$b_1$ 和 $b_2$ 相遇，由于它们相干，因此可以观察到干涉条纹
• 当光程差过大，以至于 $a_1$ 和 $a_2$ 错开，相互叠加的将是不相干的波列，因此无法观察到干涉条纹 因此当光程差大于波列长度 $L$ 时，干涉条纹小时，

$${\delta }_{max}=L$$

相干长度等于波列长度。

同一波列分成的两束光先后到达同一观察点，只有当先后到达点时间差小于某一值时才能观察到干涉，这个时间就是一个波列延续的时间 $\tau$，又叫相干时间。

空间相干性

普通光源不同部位发出的光时不相干的，实际的光源总有一定宽度。 当光源的宽度逐渐增大时，干涉条纹的明暗对比将下降。

设光源宽度为 $b$，双缝间距为 $d$，离光源的距离为 $R$。 每个线光源在屏上产生一个自己的干涉条纹，

• 位于光源中心 $M$ 处的线光源产生的干涉条纹的零级明纹位于屏中心 $O$ 处
• 在 $M$ 上方的线光源的零级明纹在 $O$ 点下方
• 在 $M$ 下方的线光源的零级明纹在 $O$ 点上方 在干涉条纹的重叠处，总光强为各个条纹光强的非相干相加。

设带光源上边缘为 $L$，下边缘为 $M$，当 $O_L$ 和 $O_N$ 错开恰好一个条纹间距时，干涉条纹恰好消失，此时也就是 $O_L$ 与 $N$ 的 1 级明纹重合。

$$ (LS_{1}+r_{1})-(LS_{2}+r_{2})=0 $$ $$ (NS_{1}+r_{1})-(NS_{2}+r_{2})=\lambda $$ 因此 $$ 2(NS_{1}-NS_{2})=\lambda $$ 取 $NQ=NS_{2}$，有 $$ 2QS_{1}=\lambda $$ 由于 $R\gg b$，有 $$ QS_{1}=d\beta=\frac{db}{2R} $$ 因此 $$ b=\frac{R\lambda}{d} $$ 这一条件与双缝到屏的距离无关。 $R$ 一定时，减小 $d$ 就可以用更宽的光源来获得干涉条纹。 $$ d_{0}=\frac{R}{b}\lambda $$ 称为**相干间隔**。 也可用**相干孔径** $\theta_{0}$ 衡量 $$ \theta_{0}=\frac{d_{0}}{R}=\frac{\lambda}{b} $$

空间相干性可以被用来衡量星体的直径。 发光星体的执行相当于光源宽度 $b$，星体到地球的距离为 $R$，从底面观察到的星体角直径 $\varphi =\frac{\lambda }{d_0}$，当恰好出现干涉条纹时，

$$\varphi =\frac{\lambda }{d_0}$$

光程

通过路程 $r$ 时，光振动相位落后

$$\Delta \varphi =\frac{2\pi }{{\lambda }^{\prime }}r$$ $${\lambda }^{\prime }=\frac{\lambda }{u}$$ $$\Delta \varphi =\frac{2\pi }{\lambda }nr$$

光在折射率为 $n$ 的介质中通过 $r$ 的距离引起的相位落后相当于在真空中通过 $nr$ 的距离时引起的相位落后，$nr$ 称为与路程 $r$ 对应的光程。

薄膜干涉（等厚条纹）

$h$ 为入射点处膜的厚度，则两束相干反射光在相遇时的光程差为

$$\delta =2nh+\frac{\lambda }{2}$$

介质膜相对周围空气为光密介质，在上表面反射时有半波损失，在下表面反射时没有。 产生明纹：

$$2nh+\frac{\lambda }{2}=k\lambda$$

产生暗纹： $$ 2nh+\frac{\lambda}{2}=(2k+1) \frac{\lambda}{2}

$$在介质膜表面上的同一条等厚线上，形成同一级次的一条干涉条纹。相邻两条明纹或暗纹对应的厚度差$$

\Delta h=\frac{\lambda}{2n}

$$相邻两条明纹或暗纹在膜表面上的距离$$

L=\frac{\Delta h}{\sin\theta}=\frac{\lambda}{2n\sin\theta}\approx \frac{\lambda}{2n\theta}

$\theta$ 越大，条纹间距越小，条纹越密。 可以用于检测工件不超过 $\lambda /4$ 的凹凸缺陷。 > [!example] > > 在工件上放置一个平玻璃，形成一个空气劈尖，条纹间隔为 $b$，条纹弯曲深度为 $a$，求工件上的凹陷深度 $H$ > > 由相似三角形， > $$ > \frac{H}{\Delta h}=\frac{a}{b} > $$ > $$ > H=\frac{\lambda a}{2b} > $$ > [!example] > > 在平玻璃上放一曲率半径 $R$ 很大的平凸透镜，二者之间形成了一个薄的空气层，当单色平行 > 光垂直入社与平凸透镜时，可以观察到透镜下表面出现一组干涉条纹。 > 这些条纹是以 O 为中心的同心圆环，称为**牛顿环**。 > 光程差 > $$ > \delta=2h+\frac{\lambda}{2} > $$ > 在中心处，形成一暗斑。 > $$ > r^{2}=R^{2}-(R-h)^{2}=2Rh-h^{2}\approx 2Rh > $$ > 因此明环半径为 > $$ > r=\sqrt{ \frac{(2k-1)R\lambda}{2} } > $$ > 暗环半径为 > $$ > r=\sqrt{ kR\lambda } > $$ ## 薄膜干涉（等倾条纹） 一条光线斜入射到厚度为 $h$ 的均匀平膜上，在上下表面发生反射，通过透镜将两条光线会聚到一点。

\delta=n(AB+BC)-AD+\frac{\lambda}{2}

AB=BC=\frac{h}{\cos r},AD=AC\sin i=2h\tan r\sin i

\sin i=n\sin r

\delta=2nAB-AD+\frac{\lambda}{2}=2n \frac{h}{\cos r}-2h\tan r\sin i+\frac{\lambda}{2}=2nh\cos r+\frac{\lambda}{2}

\delta=2h\sqrt{ n^{2}-\sin ^{2}i }+\frac{\lambda}{2}

光程差取决于倾角，而与光线从何处发出无关，所以由光源上不同点发出的光线，它们形成的干涉换都会重叠到一起，总光强为各个干涉环光强的非相干相加。 ## 迈克尔逊干涉仪 当 $M_{1},M_{2}$ 严格垂直时，$M_{1},M_{2}'$ 之间形成平行平面空气摸，观察到等倾条纹，当 $M_{1},M_{2}$ 不严格垂直时，$M_{1},M_{2}'$ 之间形成空气劈尖，观察到等厚条纹。