大物-光的衍射

光的衍射

衍射后形成明暗相间的衍射图样 根据观察方式的不同，可以把衍射现象分为两类 若光源和观察屏距衍射孔的距离有限，这种衍射称为菲涅尔衍射，或近场衍射， 若光源和观察屏都在离衍射孔无限远处，这种衍射称为远场衍射。

单缝远场衍射

单缝后任一点 $P$ 的光是由单缝处波阵面上所有子波波源发出的子波传到 $P$ 点的振动的相干叠加。

半波带法近似

将单缝处的波阵面分成多个等宽的、最上点和最下点发出的光在 $P$ 点的光程差为半个波长的条带。 衍射角 $\theta$ 是衍射光线与单缝平面法线间的夹角。 各个半波带发出的子波在 $P$ 点的振幅近似相等，而相邻两带的对应点发出的子波在 $P$ 点相差为 $\pi$，因此相邻两波带发出的振动在 $P$ 点合成时将相互抵消。

若单缝处波阵面被分成偶数个半波带，则 $P$ 点为暗纹中心， 若单缝处波阵面被分成奇数个半波带，则 $P$ 点为明纹中心。 $\theta$ 越大，半波带面积越小，明纹光强越小。

中央明条纹的半角宽度为

$$\theta \approx \sin \theta =\frac{\lambda }{a}$$

$f$ 表示透镜 $L$ 的焦距，则中央明条纹的线宽度为

$$\Delta x=2f\tan \theta \approx 2f\frac{\lambda }{a}$$

衍射反比律

$$\Delta x=\frac{2f\lambda }{a}$$

• 波长越长，条纹越宽
• 缝宽越小，条纹越宽
• 缝宽远大于波长时，衍射消失
• 缝宽远小于波长时，相当于一个点波源

准确计算

$P$ 点处各个子波的振幅近似相等 设波阵面被分为 $N$ 个子波列，则相邻两个子波列的光程差为

$$\Delta L=\frac{a\sin \theta }{N}$$

相差为

$$\delta =\frac{2\pi }{\lambda }\frac{a\sin \theta }{N}$$

$N\to \infty$ 时，振幅矢量首尾相接可近似为一个圆弧 则 $P$ 处的合振幅为

$$A=\Delta A\frac{\sin \frac{N\delta }{2}}{\sin \frac{\delta }{2}}\approx N\Delta A\frac{\sin \frac{N\delta }{2}}{\frac{N\delta }{2}}$$

令

$$\beta =\frac{N\delta }{2}=\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$$ $$A=A_0\frac{\sin \beta }{\beta }$$

因此 $P$ 点光强为

$$I=I_0{\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$$

单缝远场衍射光强公式

$$\frac{I}{I_0}={\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2$$

• 各级明纹实际位置位于半波带法近似算出位置靠中心方向
• 明纹光强随级次增大迅速减小

光栅衍射

多个等宽的狭缝等距离地排列起来得到的元件叫光栅。 设每一缝的宽度为 $a$，间隔为 $b$，$d=a+b$ 相邻两缝发出的光到达 $P$ 时的光程差相等，为 $d\sin \theta$ 当 $d\sin \theta =\pm k\lambda$ 时，所有缝发出的光到达 $P$ 点时都是同相的，发生相长干涉形成明纹，$P$ 点的合振幅为单缝的光的振幅的 $N$ 倍，光强为单缝的 $N^2$ 倍，称为主极大。 光栅会使主极大明纹变得很窄。 在两个主极大之间还有多个总光强为 0 的位置，但在这些区域总光强比主极大小的多。

• 光栅生成一系列又细又亮的明条纹，$N$ 越大，条纹越细越亮

每条缝由于衍射，在不同 $\theta$ 方向上的强度不同，主极大受单缝衍射的调制，衍射光强大的方向主极大的光强也大。

在单缝衍射光强为 0 的位置如果出现主极大，主极大将消失，发生缺级现象。

$$d\sin \theta =\pm k\lambda$$ $$a\sin \theta =\pm k^{\prime }\lambda$$

若同时满足，则 $k$ 级主极大缺级，此时

$$k=\pm \frac{d}{a}{k}^{\prime }$$

每条缝发出的光在衍射角 $\theta$ 的方向上光的振幅为

$$A_{1\theta }=A_{10}\frac{\sin \beta }{\beta }$$ $$\beta =\frac{\pi a\sin \theta }{\lambda }$$

令

$${\delta }^{\prime }=\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta$$ $$\gamma =\frac{{\delta }^{\prime }}{2}=\frac{\pi d\sin \theta }{\lambda }$$

则

$$A_{\theta }=A_{1\theta }\frac{\sin N\gamma }{\sin \gamma }=A_{10}\frac{\sin \beta }{\beta }\frac{\sin N\gamma }{\sin \gamma }$$

光栅衍射光强

$$I_{\theta }=I_{1\theta }{\left(\frac{\sin \beta }{\beta }\right)}^2{\left(\frac{\sin N\gamma }{\sin \gamma }\right)}^2$$

光学仪器的分辨本领

• 瑞利判据：一个点光源的衍射图样的主极大刚好与另一点光源衍射图样的第一个极小重合时，可以认为这两个点光源恰被这一光学仪器分辨 恰能分辨时，张角称为最小分辨角，用 $\delta \theta$ 表示，倒数称为分辨本领。 直径为 $D$ 的圆孔的中央衍射斑的角半径为

$$\theta \approx \sin \theta =1.22\frac{\lambda }{D}$$

提高孔径能提高分辨率。

光栅的分辨本领

两条波长接近的谱线，当 $\delta \theta =\Delta \theta$ 时，两条谱线恰能分辨。

$$d\cos \theta \delta \theta =k\delta \lambda$$

波长差为 $\delta \lambda$ 的两条 $k$ 级谱线的角间距为

$$\delta \theta =\frac{k\delta \lambda }{d\cos \theta }$$

对于半角宽 $\Delta \theta$，在 $k$ 级主极大

$$Nd\sin \theta =Nk\lambda$$ $$Nd\sin (\theta +\Delta \theta )=Nk\lambda +\lambda$$ $$\sin (\theta +\Delta \theta )-\sin \theta =\cos \theta \Delta \theta =\frac{\lambda }{Nd}$$

因此

$$\Delta \theta =\frac{\lambda }{Nd\cos \theta }$$

恰能分辨时，

$$\frac{k\delta \lambda }{d\cos \theta }=\frac{\lambda }{Nd\cos \theta }$$ $$\frac{\lambda }{\delta \lambda }=kN$$

分辨本领 $R$ 定义为

$$R=\frac{\lambda }{\delta \lambda }=kN$$

一个光栅能分开的两个波长差 $\delta \lambda$ 越小，光栅的分辨本领越大。 光栅的分辨本领和级次成正比，与光栅的总缝数成正比。

• 补充例题 每毫米内有 500 条缝的光栅， 光线以 $i=30°$ 斜入射光栅时，

X 射线衍射

X 射线是一种波长很短的电磁波。 晶体由一系列平行平面组成，各晶面间距为 $d$，一束 X 光以掠射角 $\varphi$ 入射到晶面上时，在符合反射定律的方向上得到强度最大的射线。 由于各个晶面上衍射发出的子波的干涉，这一强度随掠射角改变而改变。

相邻两个晶面反射的两条光线干涉加强的条件为

$$2d\sin \varphi =k\lambda$$

称为布拉格公式 同一块晶体的不同方向可以看到粒子形成取向不同，间距不同的晶面族。对于不同的晶面族，掠射角 $\varphi$ 不同，晶面间距 $d$ 也不同，因此一块晶体就会形成对称分布的衍射图样。