大物-原子中的电子

氢原子

势能为

$$U(r)=-\frac{e^2}{4\pi {ϵ}_{0}r}$$

其中 $r$ 为电子到质子的距离。 氢原子中的电子的状态由 3 个量子数 $n,l,m_l$ 决定 波函数可以写成

$$\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )$$

主量子数 $n$ 可取 $1,2,\dots$，和 $R(r)$ 有关，它决定电子的能量。

$$E_n=-\frac{m_e{e}^4}{2(4\pi {ϵ}_0{)}^2{\hslash }^2}\frac{1}{n^2}$$

定义玻尔半径

$$a_0=\frac{4\pi {ϵ}_0{\hslash }^2}{m_e^{{}^2}}$$

则能量可以写为

$$E_n=-\frac{e^2}{2(4\pi {ϵ}_0)a_0}\frac{1}{n^2}$$

使氢原子电离所需的最小能量叫电离能，数值上等于 $|E_1|$

轨道量子数 $l$ 可取 $0,1,\dots ,n-1$，和 $\Theta (\theta )$ 有关，它决定电子的轨道角动量大小 $L$

$$L=\sqrt{l(l+1)}\hslash$$

$\Phi (\varphi )$ 部分形式为 ${\Phi }_{m_l}=\frac{1}{2\pi }{e}^{i{m}_l\varphi }$，$m_l$ 可取 $0,\pm 1,\pm 2,\dots ,\pm l$，决定了电子轨道角动量 $L$ 在空间某一方向的投影。 在自由空间中，这一量子数没有实际意义 在磁场中，$m_l$ 决定轨道角动量在磁场方向的投影，可能取值为

$$L_z=m_l\hslash$$