大物-波粒二象性

黑体辐射

物体在辐射电磁波的同时，还吸收照射到它表面的电磁波。 如果同一时间内从物体表面辐射的电磁波的能量和它吸收的电磁波的能量相等，物体和辐射就处于温度一定的热平衡状态。这是的热辐射称为平衡热辐射。

单位时间内从物体单位表面积发出的频率在 $\nu$ 附近的单位频率间隔内的电磁波的能量称为频率为 $\nu$ 的出射度，记为 $M_{\nu }$

辐射能力越强的物体，其吸收能力也越强。

能完全吸收照射到表面的各种频率的光的物体称作黑体。 在一个空腔的腔壁上开一个小洞，则射入小洞的光很难反射出来，这样的小洞可以近似为一个黑体。 两条试验定律： 黑体的全部辐射出射度为

$$M={\int }_0^{\infty }{M}_{\nu }d\nu =\sigma T^4$$

维恩位移律说明在温度为 $T$ 的黑体辐射中，光谱辐射出射度最大的光的频率 ${\nu }_m$ 满足

$${\nu }_m=C_{\nu }T$$

其中 $C_{\nu }$ 为一个常量。

普朗克公式

$$M_{\nu }=\frac{2\pi h}{c^2}\frac{{\nu }^3}{e^{h\nu /kT}-1}$$

谐振子具有的能量只能取一些离散值。

$$E=nh\nu ,n=0,1,2,\dots$$

光电效应

光强一定时，光电流随加速电压的增加而增加，当加速电压增加到一定值时，光电流达到饱和值 $i_m$。 当加速电压改为负值时，反向电压等于 $U_c$ 时光电流恰好为 0，$U_c$ 称为截止电压。

$$\frac{1}{2}m{v}_m^2=e{U}_c$$

$U_c$ 和入射光频率 $\nu$ 有关。

$$U_c=K\nu -U_0$$

其中 $K$ 是与金属种类无关的常量。

$$\frac{1}{2}m{v}_m^2=eK\nu -e{U}_0$$

当入射光频率大于等于 ${\nu }_0$ 时，$U_c\ge 0$，形成光电流，当入射光频率小于 ${\nu }_0$ 时，不会产生光电效应。

光的二象性

频率为 $\nu$ 的光子的能量为

$$E=h\nu$$ $$\frac{1}{2}m{v}_m^2=h\nu -A$$

因此

$$h=eK$$

一个光子的质量为

$$m=\frac{h\nu }{c^2}=\frac{h}{c\lambda }$$

静止质量为 0 由于

$$E^2=p^2{c}^2+m_0^2{c}^4$$

光子的动量为

$$p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu }{c}=\frac{h}{\lambda }$$

康普顿散射

X 射线通过物质时向各方向散射后除了有和原设想相同的成分外，还有波长较长的成分。 根据光子理论，可以视作单个光子和单个电子发生弹性碰撞的结果。

电子在碰撞前可以视作静止。 电子具有能量 $m_0{c}^2$，动量为 0，光子具有能量 $h{\nu }_0$，动量为 $\frac{h{\nu }_0}{c}{\vec{e}}_0$ 弹性碰撞后，电子能量变位 $m{c}^2$，动量为 $m\vec{v}$，散射光子能量为 $h\nu$，动量为 $\frac{h\nu }{c}\vec{e}$ ，散射角为 $\varphi$，则

$$h{\nu }_0+m_0{c}^2=h\nu +m{c}^2$$ $$\frac{h{\nu }_0}{c}{\vec{e}}_0=\frac{h\nu }{c}\vec{e}+m\vec{v}$$

解得

$$\Delta \lambda =\frac{h}{m_{0}c}(1-\cos \varphi )$$

粒子的波动性

实物粒子也具有波动性。

$$\nu =\frac{E}{h}=\frac{m{c}^2}{h}$$ $$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$$

概率波与概率幅

德布罗意波是概率波 波函数 $\Psi =\Psi (x,y,z,t)$ 时空间和时间的函数，而且是复函数。 $|\Psi {|}^2$ 是粒子的概率密度，即在 $t$ 时刻 $(x,y,z)$ 位置附近单位体积内发现粒子的概率。

${\Psi }_1$ 和 ${\Psi }_2$ 分别表示单开缝 1 或 2 的概率幅，两缝同时开时，按经典概率理论，应该有

$$P_{12}=P_1+P_2=|{\Psi }_1{|}^2+|{\Psi }_2{|}^2$$

但实际上不是概率相叠加，而是概率幅相叠加，

$${\Psi }_{12}={\Psi }_1+{\Psi }_2$$ $$P_{12}=|{\Psi }_{12}{|}^2=|{\Psi }_1+{\Psi }_2{|}^2$$

不确定关系

按照牛顿力学，任意时刻质点都有确定的位置和动量。 实际上，任意时刻粒子都不具有确定的位置，也不具有确定的动量。

一束动量为 $\vec{p}$ 的电子通过宽为 $\Delta x$ 的单缝后发生衍射并形成衍射条纹： 电子在 $x$ 方向上的不确定量为 $\Delta x$， 认为电子都落在中央亮纹内，因此电子通过缝时，运动方向可以有大到 ${\theta }_1$ 角的偏转。

$$0\le p_x\le p\sin {\theta }_1$$

因此 $x$ 方向上动量的不确定量为 $\Delta p_x=p\sin {\theta }_1$，考虑到衍射条纹的次级极大，有

$$\Delta p_x\ge p\sin {\theta }_1$$

由单缝衍射，

$$\Delta x\sin {\theta }_1=\lambda$$ $$\lambda =\frac{h}{p}$$

因此有

$$\sin {\theta }_1=\frac{h}{p\Delta x}$$ $$\Delta x\Delta p_x\ge h$$

更一般的理论给出

$$\Delta x\Delta p_x\ge \frac{h}{4\pi }$$

定义

$$\hslash =\frac{h}{2\pi }$$

则

$$\Delta x\Delta p_x\ge \frac{\hslash }{2}$$

除了坐标和动量间有不确定性关系外，能量和时间也具有不确定性关系 一个粒子在一段时间 $\Delta t$ 内动量为 $p$，能量为 $E$，

$$p^2{c}^2=E^2-m_0^2{c}^4$$

其动量的不确定量为

$$\Delta p=\Delta \left(\frac{1}{c}\sqrt{E^2-m_0^2{c}^4}\right)=\frac{E}{c^{2}p}\Delta E$$

在 $\Delta t$ 时间内，粒子可能发生的位移为 $v\Delta t=\frac{p}{m}\Delta t$

$$\Delta x\Delta p=\frac{E}{m{c}^2}\Delta E\Delta t$$

由于 $E=m{c}^2$，

$$\Delta E\Delta t\ge \frac{\hslash }{2}$$