大物-磁力

带电粒子在磁场中的运动

$$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$ $$R=\frac{mv}{qB}=\frac{p}{qB}$$ $$T=\frac{2\pi m}{qB}$$

若粒子速度方向不与磁场垂直，可将速度分解为沿磁场方向的分速度和垂直于磁场方向的分速度，粒子沿磁场方向做匀速运动，垂直磁场方向做匀速圆周运动，合运动为一螺旋运动，螺距为

$$h=v_{\parallel }T=\frac{2\pi m}{qB}{v}_{\parallel }$$

磁聚焦

若 A 点处有一束发散角不太大的带电粒子束，粒子沿磁场方向分速度大小几乎一样，则它们的螺距基本相同，经过一个回旋周期后，这些粒子会重新聚焦于另一点 A’

磁镜

在不均匀场中，若一粒子向磁场较强处螺旋前进，它会受到一个具有与前进方向相反的分量的磁场力，进而可能减速到零并反向前进，这种磁场称为磁镜

磁瓶

两个电流方向相同的线圈产生一个中间弱两端强的磁场，这一磁场的两端形成两个磁镜，带电粒子会被约束在这两个磁镜间来回运动，这种磁场称为磁瓶

霍尔效应

在一个金属窄条中通以电流，外加磁场 $\vec{B}$，由于洛伦兹力，电子会向一侧聚集，在金属内部将产生一横向电场 ${\vec{E}}_H$

$$q{E}_H=qvB$$ $$E_H=vB$$

导体两侧会出现电势差

$$U_H=E_{H}h=vBh$$

由于

$$I=nSqv=nbhqv$$

因此

$$U_H=\frac{IB}{nqb}$$

方向相同的电流，由于载流子种类不同，引起的霍尔效应不同。

量子霍尔效应

定义霍尔电阻

$$R_H=\frac{U_H}{I}=\frac{B}{nqb}$$

在极低温度下和强磁场中，霍尔电阻有台阶式的改变

$$R_H=\frac{U_H}{I}=\frac{R_K}{n},n=1,2,3,\dots$$

$R_K$ 称为克里青常量，只和基本常量 $h$ 和 $e$ 有关。

$$R_K=\frac{h}{e^2}=25813\Omega$$

载流导线在磁场中受到的磁力

取一电流元 $Id\vec{l}$，这段载流子受力总和为

$$d\vec{F}=nSdlq\vec{v}\times \vec{B}=Id\vec{l}\times \vec{B}$$

因此

$$F={\int }_{L}Id\vec{l}\times B$$

Example

均匀磁场 $B$ 中有一段弯曲导线，通有电流 $I$

$$ F=\int_{(a)}^{(b)}Id\vec{l}\times \vec{B}=I\left( \int_{(a)}^{(b)}d\vec{l} \right)\times \vec{B}=I\vec{l}\times \vec{B}=IlB\sin\theta $$ 这说明**均匀磁场**中**闭合载流回路**整体**不受磁力**

Example

磁铁 N 极上方水平放置半径为 $R$ 的导线环，通有顺时针（俯视）方向电流 $I$，在导线处磁场方向与竖直方向成 $\alpha$ 角，求它受到的磁力大小。

$$ d\vec{F}=Id\vec{l}\times \vec{B} $$ 显然水平分量和为 0，竖直分量相等 $$ F=\int dF_z=\int dF\sin\alpha=2\pi RIB\sin\alpha $$

载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

磁偶极子在均匀磁场中所受磁力矩

一个载流圆线圈半径为 $R$ ，电流为 $I$，放在均匀磁场 $B$ 中，法向方向与 $B$ 的夹角为 $\theta$ 将 $B$ 分解为与法线平行的分量和与法线垂直的分量 显然 $B_{\parallel }$ 产生的合力矩为 0 对于 $B_{\perp }$，

$$dM=dFr=Idl{B}_{\perp }\sin \beta r=I{R}^2{B}_{\perp }{\sin }^2\beta d\beta$$ $$M=\int dM=\pi I{R}^2{B}_{\perp }=\pi R^{2}IB\sin \theta$$

磁矩

$$\vec{m}=SI{\vec{e}}_n$$

则

$$\vec{M}=\vec{m}\times \vec{B}$$

对比电偶极子，

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形式完全一致。

磁矩在磁场中的势能

磁矩在磁场中的势能

$\theta$ 从 ${\theta }_1$ 增大到 ${\theta }_2$ 时，

$$A={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}Md\theta =mB(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)$$ $$W_m=-mB\cos \theta =-\vec{m}\cdot \vec{B}$$

对比电偶极子，

Circular transclusion detected: 10-Areas/Physics/电偶极子

形式完全一致。