大物-磁场

磁力与电荷运动

永磁体的分子内部电子和质子等带电粒子的运动等效为微小的电流，称为分子电流，永磁体与其他永磁体或电流的相互作用其实是分子电流之间或它们与导线中定向运动的电荷之间的相互作用。 因此，磁力都是运动电荷之间相互作用的表现

磁场与磁感应强度

洛伦兹力

$$\vec{F}=q\vec{v}\times \vec{B}$$

• 磁场满足叠加原理 磁通量定义为

$$\Phi ={\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}$$

毕奥萨伐尔定律

在一段通有电流的导线上去一个电流元 $Id\vec{l}$，$\vec{r}$ 表示该电流元指向某一点 $P$ 的径矢，则该电流元在 $P$ 点产生的磁场有

$$d\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Id\vec{l}\times \hat{r}}{r^2}$$

真空磁导率

$${\mu }_0=\frac{1}{{ϵ}_0{c}^2}=4\pi \times 10^{-7}N/A^2$$

圆电流轴线上磁场分布

圆形载流导线，电流强度为 $I$，半径为 $R$，求轴线上的磁场分布。

---

$$dB=\frac{{\mu }_{0}Idl}{4\pi r^2}$$

垂直轴线的磁场相互抵消，因此轴线上合磁场大小为

$$B=\int d{B}_{\parallel }=\oint \frac{{\mu }_{0}RI}{4\pi r^3}dl=\frac{{\mu }_0{R}^{2}I}{2r^3}=\frac{{\mu }_0{R}^{2}I}{2(R^2+x^2{)}^{3/2}}$$

在圆心处，有

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}$$

方向与圆电流的流向符合右手螺旋定则

定义一个闭合通电线圈的磁偶极矩为

$$\vec{m}=IS{\vec{e}}_n$$

Theorem

可以证明，磁矩为 $\vec{m}$ 的线圈在较远的距离 $\vec{r}$ 处产生的磁场为

$$\vec{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}(-\vec{m}+3(\vec{m}\cdot \hat{r})\hat{r})$$

对比电偶极子，

电场分布

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0{r}^3}(-\vec{p}+3(\hat{r}\cdot \vec{p})\hat{r})$$

Link to original

形式相同

磁通连续定理

任何磁场中通过任意封闭曲面的磁通量为 0

$$\subset \supset {\iint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=0$$

表示不存在磁单极子

安培环路定理

安培环路定理

闭合恒定电流的磁场中，磁感应强度 $\vec{B}$ 沿任意闭合路径 $C$ 的线积分等于路径 $C$ 所包围的电流强度的代数和的 ${\mu }_0$ 倍

$${\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{r}={\mu }_0\sum I_{in}$$

Example

求无限长圆柱面电流的磁场分布。圆柱面半径为 $R$，面上均匀分布轴向总电流为 $I$

---

取距轴线距离为 $r$ 的一点。由对称性，$\vec{B}$ 的轴向分量为 0。 取半径为 $r$ ，长度为 $l$ 的圆柱面，

$$\subset \supset {\iint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}={\iint }_{S_1}{B}_{r}dS=2\pi rl{B}_r=0$$

因此径向分量也为 0。 因此 $\vec{B}$ 只有切向分量，

$${\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{r}=B\cdot 2\pi r={\mu }_{0}I$$

因此

$$B=\{\begin{array}{rl}\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi r},& r>R\\ 0,& r\le R\end{array}$$

与变化电场联系的磁场

没有电流的情况下，

$${\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{r}={\mu }_0{ϵ}_0\frac{d}{dt}{\iint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$$

若有电流，

$$\begin{array}{rl}{\oint }_C\vec{B}\cdot d\vec{r}& ={\mu }_0\left(I+{ϵ}_0\frac{d}{dt}{\iint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}\right)\\ & ={\mu }_0{\iint }_S\left(\vec{J}+{ϵ}_0\frac{\partial E}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S}\end{array}$$

定义位移电流

$$I_d={ϵ}_0\frac{d{\Phi }_e}{dt}={ϵ}_0\frac{d}{dt}{\int }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$$

有电介质情况下，也可定义为电位移通量的变化率：

$$I_d=\frac{d}{dt}{\iint }_S\vec{D}\cdot d\vec{S}$$

定义全电流

$$I=I_c+I_d={\iint }_S\left(J_c+{ϵ}_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S}$$

应用高斯定理有

$$I=\subset \supset {\iint }_S{J}_c\cdot d\vec{S}+\frac{d{q}_{in}}{dt}$$

通过任意封闭曲面的全电流为 0