大物-稳恒电流

电流和电流密度

定义为单位时间内通过导线某一横截面的电量。

I = \frac{d q}{d t}

方向：正电荷运动的方向

对于一个面元 $d S$ ，通过 $d S$ 的电流为

d I = q n v \cdot d S

定义电流密度 $J$

J = q n v

有

d I = J \cdot d S

若有多种载流子，

d I = \sum J_{i} \cdot d S

I = \subset \supset \iint_{S} J \cdot d S

外加电场中，金属中的电子有一个平均定向速度 $⟨ v ⟩$ ，称作漂移速度。

电流的连续性方程

$\subset \supset \iint_{S} J \cdot d S = - \frac{d q _{in}}{d t}$

电流场中的每一点的电流密度的大小和方向不随时间改变。

\subset \supset \iint J \cdot d S = 0

### 恒定电场 不随时间改变的电荷分布产生不随时间改变的电场，这种电场叫**恒定电场**。 - 具有**保守性**，可以引入**电势** - **基尔霍夫第二定律**：恒定电流电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和为 0

\oint_{L}\vec{E}\cdot d\vec{r}=0

## 电动势 将非静电力的作用看作是等效的**非静电场**的作用

\epsilon=\int_{(-)}^{(+)}\vec{E}{ne}\cdot d\vec{r}=\oint_L\vec{E}{ne}\cdot d\vec{r}

## 欧姆定律和电阻 > [!theorem] 电场强度和电流密度的关系 > > $$ > R=\frac{U}{I}=\frac{\rho l}{S}=\frac{El}{JS} > $$ > 因此 > $$ > \vec{E}=\rho \vec{J} > $$ > 或可写成 > $$ > \vec{J}=\sigma \vec{E} > $$ > 可以叫做**欧姆定律的微分形式** > 对于一般的金属或电解液，欧姆定律在相当大的电压范围内成立，但对于许多导体，欧姆定律不成立 电功率密度

P=UI=EJV

p=EJ=\vec{E}\cdot \vec{J}=\sigma E^{2}

## 电容器的充放电 **充电时**： 某一时刻电流为 $i$，电容器上电量为 $q$，两板之间的电压为 $u$，则有

-\epsilon+iR+u=0

i = \frac{ dq }{ dt }

u=\frac{q}{C}

则有

R \frac{ dq }{ dt } +\frac{q}{C}=\epsilon

初始条件 $t=0,q=0$

q=C\epsilon(1-e^{ -t/RC })

i=\frac{ dq }{ dt } =\frac{\epsilon}{R}e^{ -t/RC }

变化快慢由 $RC$ 决定，称为电路的**时间常量**$\tau$ **放电时**： 充电至带电 $Q$，

iR-u=0

i=-\frac{ dq }{ dt }

u=\frac{q}{C}

则

R \frac{ dq }{ dt } +\frac{q}{C}=0

初始条件 $t=0,q=Q$ 有

q=Qe^{ -t/RC }

i=\frac{Q}{RC}e^{ -t/RC }

- ! 此时电场不是恒定电场，因此应用基尔霍夫第二定律似乎并不合理。但是当电量变化较慢时，回路的线度比距离 $c\tau$ 小的多，电场可近似为该时刻的电荷分布，这种电场称为**似稳电场**，也可以应用基尔霍夫方程 ## 电流的微观图像 每个电子受力 $e\vec{E}$ 的作用，

\vec{v}i=\vec{v}{0i}+\frac{e\vec{E}}{m}t_i

\vec{J}=\sum_{i=1}^{n} e\vec{v}i=e\sum{i=1}^{n} \vec{v}{0i}+\frac{e^{2}\vec{E}}{m}\sum{i=1}^{n} t_i

右侧第一项为 0，第二项可写作 $n\tau$，则

\vec{J}=\frac{ne^{2}\tau}{m}\vec{E}

即 $\vec{J}$ 与 $\vec{E}$ 成正比，有

\sigma=\frac{ne^{2}\tau}{m}

p=\sigma E^{2}

$p$ 称为电流的**热功率密度**，

P=plS=\sigma E^{2}lS=I^{2}R