大物-薛定谔方程

波动方程

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\Psi }{\partial x^2}+U(x,t)\Psi =i\hslash \frac{\partial \Psi }{\partial t}$$

$\Psi (x,t)$ 为粒子在势场 $U=U(x,t)$ 中运动的波函数。 波函数有以下形式：

$$\Psi (x,t)=\psi (x)e^{-iEt/\hslash }$$

代入得

$$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+U\psi =E\psi$$

此方程称为定态薛定谔方程 $\psi (x)$ 叫粒子的定态波函数 波函数必须是单值的，有限的和连续的。

无限深方势阱中的粒子

势能函数

$$U=\{\begin{array}{rlrl}& 0,& & 0\le x\le a\\ & \infty ,& & x<0,x>a\end{array}$$

粒子的位置被限制在阱内 自由电子在金属块内部可以自由运动，但很难逸出金属表面，可以认为自由电子处于以金属块表面为边界的无限深势阱中。 在势阱外，由于 $U=\infty$，必有 $\psi =0$ 在势阱内，由于 $U=0$，

$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi =-k^2\psi$$

其中

$$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hslash }$$

解为

$$\psi =A\sin (kx+\varphi )$$

由于 $\psi$ 在 $x=0$ 和 $x=a$ 处连续，

$$A\sin \varphi =0$$ $$A\sin (ka+\varphi )=0$$

因此

$$\psi =A\sin \frac{n\pi }{a}x,n=1,2,3,\dots$$

根据归一化条件，

$${\int }_0^a|\psi {|}^{2}dx=1$$

因此 $A=\sqrt{2/a}$

$${\psi }_n=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin \frac{n\pi }{a}x,n=1,2,3,\dots$$ $$E_n=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}{n}^2,n=1,2,3,\dots$$

显然有能量是量子化的

$${\Psi }_n={\varphi }_n\exp (-2\pi i{E}_{n}t/h)$$

• 量子粒子的最小能量（基态能量）为 $E_1={\pi }^2{\hslash }^2/(2m{a}^2)$ 不为 0，这是符合不确定关系的，量子粒子在有限空间内运动，速度不可能为 0 粒子在势阱中运动的动量为

$$p_n=\pm \sqrt{2m{E}_n}=\pm \frac{n\pi h}{a}=\pm k\hslash$$

粒子的德布罗意波长为

$${\lambda }_n=\frac{h}{p_n}=\frac{2a}{n}=\frac{2\pi }{k}$$

波长只能为势阱宽度两倍的整数分之一。

势垒穿透

半无限深方势阱

$$U=\{\begin{array}{rlrl}& \infty ,& & x<0\\ & 0,& & 0\le x\le a\\ & U_0,& & x>a\end{array}$$

$x<0$ 区域内 $\varphi =0$ $0\le x\le a$ 时

$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=-\frac{2mE}{{\hslash }^2}\psi =-k^2\psi$$ $$\psi =A\sin (kx+\varphi )$$

$x>a$ 时，

$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}=\frac{2m}{{\hslash }^2}(U_0-E)\psi =k^{\prime 2}\psi$$

其中

$$k^{\prime }=\frac{\sqrt{2m(U_0-E)}}{\hslash }$$

一般解为

$$\psi =C{e}^{-k^{\prime }x}+D{e}^{k^{\prime }x}$$

$x\to \infty$ 时，波函数有限，$D=0$

$$\psi =C{e}^{-k^{\prime }x}$$

波函数在 $x=a$ 连续，

$$A\sin (ka+\varphi )=C{e}^{-k^{\prime }a}$$ $$kA\cos (ka+\varphi )=-k^{\prime }C{e}^{-k^{\prime }a}$$

可以解出在 $x>a$ 处粒子出现的概率不为 0

如果高势能区域是有限的，粒子在运动中为一势垒所阻，则粒子有可能穿过势垒到达势垒的另一侧，这种现象称为势垒穿透

谐振子

一维谐振子的势能函数为

$$U=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$

$\omega =\sqrt{k/m}$ 为振子的固有角频率

$$\frac{d^2\psi }{d{x}^2}+\frac{2m}{\hslash }\left(E-\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\right)\psi =0$$

可以解得谐振子的能量是量子化的，

$$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu$$

• 谐振子的能级是等间距的