大物-静电场中的导体

导体的静电平衡

Definition

指导体内部和表面都没有电荷定向移动的状态，条件是

$${\vec{E}}_{in}=0,{\vec{E}}_S\perp 表面$$

也就是说，静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。

• ! 均匀带电球体内部有电场的原因是它是绝缘体而不是导体球。

静电平衡的导体上的电荷分布

• 内部各处净电荷为 0，电荷只分布在表面
• 表面上各处的面电荷密度与表面紧邻处的电场强度的大小成正比 在紧邻处取一点 P，作一个平行于导体表面的小面积元 $\Delta S$，以 $\Delta S$ 为底，作一个扁圆筒。有

$$E\Delta S=\frac{\sigma \Delta S}{{ϵ}_0}$$

因此

$$\sigma ={ϵ}_{0}E$$

• 孤立的导体处于静电平衡时，表面各处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大，面电荷密度越大

Example

考虑两个连通的球壳，半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，则 $Q_1/R_1=Q_2/R_2$，

$$\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}=\frac{Q_1/4\pi R_1^2}{Q_2/4\pi R_2^2}=\frac{R_2}{R_1}$$

即半径较大的球壳面电荷密度较小.

导体存在时静电场的分析

电场会影响导体上电荷的分布，同时，导体上的电荷分布也会影响电场的分布。

Example

金属板面积为 $S$，带电量 $Q$，在其旁边平行放置另一不带电金属板，求电场分布

--- 电荷只能分布在金属板表面上，可当作均匀分布，由电荷守恒 $$ \begin{align} \sigma_{1}+\sigma_{2} & =\frac{Q}{S} \\ \sigma_{3}+\sigma_{4} & =0 \end{align} $$ 取底面分别在两金属板内的高斯面，有 $$ \sigma_{2}+\sigma_{3}=0 $$ 对于金属板内一点 $P$ $$ E=\frac{\sigma_{1}}{2\epsilon_{0}}+\frac{\sigma_{2}}{2\epsilon_{0}}+\frac{\sigma_{3}}{2\epsilon_{0}}-\frac{\sigma_{4}}{2\epsilon_{0}}=0 $$ 联立，有 $$ \left\{ \begin{align} \sigma_{1} & =\frac{Q}{2S} \\ \sigma_{2} & =\frac{Q}{2S} \\ \sigma_{3} & =-\frac{Q}{2S} \\ \sigma_{4} & =\frac{Q}{2S} \end{align} \right. $$ 可求电场分布……

静电屏蔽

金属空壳可以使内部不受外面静电场的影响。 在金属壳内取一个高斯面，可知内表面上的净电荷为 0。又因为导体上处处等势，可知空腔内部电场强度始终为 0。 实际上，是壳外电荷在空腔内产生的电场与壳外表面上的电荷产生的电场抵消了

唯一性定理

对于若干个导体，如果以下某个条件满足：

• 给定每个导体上的总电量
• 给定每个导体的电势
• 给定一些导体的总电量和另一些导体的电势 则电场分布和电荷分布被唯一确定。

镜像法

Example

点电荷 $q$ 放置在一无限大金属板上方 $h$ 处，求板上方空间的电场分布。

---

由唯一性定理，当满足边界条件，即金属板表面电势为 0，板上方空间内的电场分布唯一确定。 设想在下方 $h$ 处放置一点电荷 $-q$，然后把金属板撤去，这样，这对电荷的电场的上半部分的边界条件与之前一样，故电场分布也相同。

像电荷应该放置在研究区域之外，调整其位置和电量使得边界条件（导体表面等势，如果有电势要求还要满足电势要求；导体内净电荷相同）与原边界条件相同。

Example

求导体球外的电场分布。

在球心与点电荷连线上放一假想电荷 $q^{\prime }$ 导体球表面电势为零，对于球面上与球心和点电荷连线交点，

$$\{\begin{array}{r}\frac{q}{4\pi {ϵ}_0(r-R)}+\frac{q^{\prime }}{4\pi {ϵ}_0(R-a)}=0\\ \frac{q}{4\pi {ϵ}_0(r+R)}+\frac{q^{\prime }}{4\pi {ϵ}_0(R+a)}=0\end{array}$$ $$\frac{r+R}{r-R}=\frac{R+a}{R-a}$$

有

$$\{\begin{array}{rl}a& =\frac{R^2}{r}\\ q^{\prime }& =-\frac{R}{r}q\end{array}$$

由阿氏圆，球面上任意一点有

$$\frac{d}{d^{\prime }}=\frac{r}{R}$$

因此，电势为

$$\frac{q}{4\pi {ϵ}_{0}d}+\frac{q^{\prime }}{4\pi {ϵ}_0{d}^{\prime }}=0$$

因此边界条件相同，电场分布相同。 若不接地，在相同位置放置 $q^{\prime }$，使球面上电势相等，只需再在球心处放置 $q^{\prime \prime }=-q^{\prime }=\frac{R}{r}q$ 即可保证球体内净电荷为 0，满足边界条件。