大物-麦克斯韦方程组和电磁辐射

麦克斯韦方程组

积分形式：

$$\{\begin{array}{rl}{\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}& =\frac{q}{{ϵ}_0}\\ {\oint }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}& =0\\ {\oint }_L\vec{E}\cdot d\vec{r}& =-\frac{d\Phi }{dt}=-{\int }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}\\ {\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{r}& ={\mu }_{0}I+\frac{1}{c^2}\frac{d{\Phi }_e}{dt}={\mu }_0{\int }_S\left(\vec{J}+{ϵ}_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)\cdot d\vec{S}\end{array}$$

物理意义

麦克斯韦方程组能完全描述电磁场的动力学过程。

1. 电场的高斯定律，说明电场强度和电荷的联系
2. 磁通连续定理，不存在磁单极子
3. 法拉第电磁感应定律，说明变化电磁场和电场的联系
4. 安培环路定理，说明磁场与电流和变化的电场的联系

加速电荷的电场

点电荷从 $t=0$ 开始以加速度 $a$ 沿 $x$ 轴正向作加速运动，在 $t=\tau$ 时，速度为 $v=a\tau$，此后以该速度作匀速直线运动。 在 $t=0$ 到 $t=\tau$ 内，由于电荷的加速，它周围的电场会发生扰动，这一扰动以光速 $c$ 向外传播。 在 $O$ 为中心 $ct$ 为半径的球面外，电场仍是电荷原来静止在 $O$ 点时的静电场。在 $P$ 为中心，$c(t-\tau )$ 为半径的球面内为匀速直线运动的电荷的电场。 在这两个静电场间，有一个由于电荷加速运动而形成的过渡区。 过渡区内的电场 $\vec{E}$ 可分解为 ${\vec{E}}_r$ 和 ${\vec{E}}_{\theta }$ 两个分量，

$$\frac{E_{\theta }}{E_r}=\frac{vt\sin \theta }{c\tau }=\frac{at\sin \theta }{c}=\frac{ar\sin \theta }{c^2}$$

$E_r$ 分量仍是库仑定律给出的电场

$$E_r=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$$ $$E_{\theta }=\frac{qa\sin \theta }{4\pi {ϵ}_0{c}^{2}r}$$

这一电场垂直于电磁场传播速度的方向，且只在过渡区内存在，这就是电荷加速运动时产生的横向电场。它随着 $r$ 的一次方成反比减小，因此当静电场减小到可以忽略时，横向电场还有明显的强度。

加速电荷的磁场

由于电场分布具有轴对称性，因此磁场也具有轴对称性。磁感线应该是垂直于电荷运动方向的平面内且圆心在电荷运动轨迹上的同心圆。

$${\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{r}=\frac{1}{c^2}\frac{d{\Phi }_e}{dt}=\frac{1}{c^2}\frac{d}{dt}{\int }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$$

$\vec{E}={\vec{E}}_r+{\vec{E}}_{\theta }$，其中 ${\vec{E}}_r$ 的电通量变化率对应匀速运动电荷的磁场，它取决于电荷的速度。 与电荷加速度有关的磁场由 ${\vec{E}}_{\theta }$ 的变化产生，记为 $B_{\varphi }$

$${\oint }_L{\vec{B}}_{\varphi }\cdot d\vec{r}=\frac{1}{c^2}\frac{d{\Phi }_{e,\theta }}{dt}=\frac{1}{c^2}\frac{d}{dt}{\int }_S{\vec{E}}_{\theta }\cdot d\vec{S}$$ $${\oint }_L{\vec{B}}_{\varphi }\cdot d\vec{r}=B_{\varphi }2\pi r\sin \theta$$ $${\Phi }_{e,\theta }={\int }_S{\vec{E}}_{\theta }\cdot d\vec{S}=-E_{\theta }\sin \theta \cdot 2\pi rc\tau$$

由于过渡区向外传播，电通量将在 $\tau$ 内减为 0

$$\frac{d{\Phi }_{e,\theta }}{dt}=-\frac{{\Phi }_{e,\theta }}{\tau }=2\pi rc{E}_{\theta }\sin \theta$$

因此

$$B_{\varphi }=\frac{E_{\theta }}{c}=\frac{qa\sin \theta }{4\pi {ϵ}_0{c}^{3}r}$$

这就是加速电荷的横向磁场，方向垂直于 ${\vec{E}}_{\theta }$，且也垂直于电磁场传播方向，因此电磁波是横波。

$$\vec{B}=\frac{\vec{c}\times \vec{E}}{c^2}$$

电磁波的能量

真空中电磁波单位体积内的能量为

$$w=w_e+w_m=\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{B^2}{2{\mu }_0}={ϵ}_0{E}^2$$

电磁波传播时其中的能量也随之传播。 单位时间内通过与传播方向垂直的单位面积的能量叫电磁波的能流密度，其时间平均值是电磁波的强度。

能流密度

$$S=\frac{wdAcdt}{dAdt}=cw=c{ϵ}_0^2=\frac{EB}{{\mu }_0}$$

也可以表示为

$$\vec{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\vec{E}\times \vec{B}$$

称为坡印亭矢量。

对于简谐电磁波，

$$I=\bar{S}=c{ϵ}_0\overline{E^2}=\frac{1}{2}c{ϵ}_0{E}_m^2=c{ϵ}_0{E}_{rms}^2$$

对于作加速运动的电荷，

$$\vec{S}=\frac{q^2{a}^2{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{ϵ}_0{c}^3{r}^3}\vec{r}$$

输出总功率

$$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$$

电荷 $q$ 在原点作角频率为 $w$、振幅为 $l$ 的简谐振动，

$$x=l\cos wt$$

加速度为

$$a=-w^{2}l\cos wt$$

坡印亭矢量瞬时值为

$$\vec{S}=\frac{q^2{l}^2{w}^4{\sin }^2\theta }{16{\pi }^2{ϵ}_0{c}^3{r}^3}{\cos }^2(wt)\vec{r}$$

平均辐射总功率为

$$P=\frac{q^2{l}^2{w}^4}{12\pi {ϵ}_0{c}^3}$$

可以看作一个振荡电偶极子

$$p=ql\cos wt=p_0\cos wt$$ $$P=\frac{p_0^2{w}^4}{12\pi {ϵ}_0{c}^3}$$

电磁波的动量

电磁波的动量密度

$$p=\frac{w}{c}=\frac{{ϵ}_0{E}^2}{c^2}$$

也可以写成

$$\vec{p}=\frac{w}{c^2}\vec{c}$$

对黑体的辐射压强为

$$p_r=cp={ϵ}_0{E}^2=w$$