Poisson 分布

Poisson 分布

定义

$$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },\lambda >0,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

记为 $X\sim P(\lambda )$，刻画一段时间内小概率事件的发生次数 $\lambda$ 可以理解为这段固定的时间间隔平均发生事件的次数。 $E(X)=\lambda =Var(X)$ 若 $X\sim B(n,p)$，

$$\begin{array}{rl}P(X=k)& =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}\\ & =\frac{n!}{k!(n-k)!}{\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-k}\\ & =\frac{{\lambda }^k}{k!}{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-k}\frac{n!}{(n-k)!n^k}\\ & \to \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },n\to \infty \end{array}$$

若 n 很大，p 很小，np 不太大，则 $X\stackrel{近似}{\sim }P(np)$，误差 $\le min\left\{p,n{p}^2\right\}$ 若 Bernoulli 试验不独立，但弱相依，Poisson 分布仍为较好近似。

矩母函数

$$M_X(t)=e^{\lambda (e^t-1)}$$