概统-随机变量

一维随机变量

定义

样本空间 $\Omega$ 上的实值函数 $X:\Omega \to \mathbb{R}$，对任意可测集 $I\subset \mathbb{R}$ 有 $X^{-1}(I)\in \mathcal{F}$，称 $X$ 为随机变量。

$$P(X\in I)=P(X^{-1}(I))$$

随机变量是试验结果的数值摘要，起概括作用。 分类：

• 离散型：可数多个取值
• 连续型：区间型取值
• 其他

累积分布函数

$$F_X(x)=P(X\le x),\forall x\in \mathbb{R}$$

定义为随机变量 $X$ 的累积分布函数。

性质

1. $F(x)$ 单调递增
2. ${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$, ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$
3. $F(x)$ 右连续

同分布

若 $X_1,X_2$ 的 CDF 分别为 $F_1(x),F_2(x)$， $X_1,X_2$ 同分布 $\iff F_1(x)=F_2(x)$

• 同分布 $\ne$ 同变量

离散随机变量

概率质量函数

$$f(x)=P(X=x)$$

定义为随机变量 $X$ 的概率质量函数 PMF。

期望&方差

$$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i$$

定义为随机变量 $X$ 的期望，$E(X)$ 存在 $\iff {\sum }_i{x}_i{p}_i$ 绝对收敛。 期望存在时，定义方差为

$$Var(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2{p}_i=E(X^2)-E(X{)}^2$$

常见离散分布

Bernoulli 分布 二项分布 Poisson 分布

配对问题

$$\begin{array}{rl}P(A_i)& =\frac{1}{n}\\ P(A_i|A_j)& =\frac{1}{n-1}\\ P(X=k)& \approx \frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }=\frac{1}{k!}{e}^{-1}\end{array}$$

连续分布

概率密度函数

若 $\forall I\subset \mathbb{R}$ 可测，有

$$P(X\in I)={\int }_{I}f(x)dx$$

则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为 $X$ 的概率密度函数 PDF

性质

1. ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx\equiv 1$
2. $P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$
3. $P(X=a)\equiv 0,\forall a\in \mathbb{R}$
4. $P(x_0-\delta <X<x_0+\delta )={\int }_{x_0-\delta }^{(x_0+\delta )}f(x)dx\approx f(x_0)2\delta$
5. $F(x)=P(X\le x)={\int }_{oo}^{x}f(t)dt,F^{\prime }(x)=f(x)$

期望&方差

期望 $E(X)={\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$ $E(g(X))={\int }_{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)dx$ 方差 $Var(X)={\int }_{\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^{2}f(x)dx=E(X^2)-E^2(X)$ 存在 $\iff {\int }_{-\infty }^{\infty }xf(x)dx$ 绝对收敛

常见连续分布

均匀分布 正态分布 指数分布

随机变量的函数

Example

$Y=X^2$

$$\begin{array}{rl}& \\ \forall y>0,P(Y\le y)& =P(X^2\le y)\\ & =P(-\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y})\\ & ={\int }_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x)dx\end{array}$$ $$l(y)=\frac{d}{dy}P(Y\le y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}(f(\sqrt{y})+f(-\sqrt{y})),y>0$$