指数分布

指数分布

定义

$$f(x)=\{\begin{array}{r}\lambda e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$$

记作 $X\sim Exp(\lambda )$ $\lambda$ 理解为单位时间内发生事件的次数。

$$F(x)=\{\begin{array}{r}1-e^{-\lambda x},x>0\\ 0,x\le 0\end{array}$$

• $E(X)=\frac{1}{\lambda },Var(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}$
• 用于刻画寿命、等待时间
• 无记忆化：$P(X>t+s|X>s)$ 与 $s$ 无关

Example

医院每小时平均出生婴儿数为 $\lambda$，接下来 $t$ 小时内婴儿出生数的分布服从 Poisson 分布，

$$P(N(t)=k)=\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda t},k=0,1,\dots$$

$X$ 表示下一个婴儿出生的等待时间，

$$P(X>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}$$ $$P(X\le t)=1-e^{-\lambda t},X\sim Exp(\lambda )$$

指数分布可以通过失效率来理解。 设一个零件寿命为 $X$，则瞬时失效率

$$P(a<X<x+dx|X>x)=\frac{P(x<X<x+dx)}{P(X>x)}\approx \frac{F^{\prime }(x)}{1-F(X)}dx$$

若瞬时失效率为常数 $\lambda$，有 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$，即 $X$ 服从指数分布。 若

\lambda(x)=\frac{\alpha x^{\alpha-1}}{\beta^{\alpha}} $$，有 $F(X)=1-e^{ -(x/\beta)^{\alpha} }$，称 $X$ 服从 Weibull 分布，可以更精细地刻画寿命。 #### 矩母函数

M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}