正态分布

正态分布

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp (-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}),x\in R$$

记作 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$

• $E(X)=\mu ,Var(X)={\sigma }^2$
• 标准化： $Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)\Rightarrow X=\frac{Y-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

若 $X_1\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ 有 $X_1+X_2\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

矩母函数

若 $X\sim N(0,1)$，其矩母函数为

$$M_X(t)=e^{t^2/2}$$

若 $Y\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ 令 $Y=\sigma X+\mu$，则 $X\sim N(0,1)$

$$M_Y(t)=e^{tY}=e^{t\sigma X+\mu t}=e^{\mu t}{M}_X(\sigma t)=e^{\mu t}{e}^{(\sigma t{)}^2/2}=e^{(\sigma t{)}^2/2+\mu t}$$