静电场的保守性
对任何静电场，电场强度的线积分 都只和初末位置有关，而与路径无关。
静电场的环路定理
电势差和电势
Definition
称为 和 两点间的电势差。 若取 为电势零点，则静电场中任意一点 点电势为
电势叠加原理：
距静止点电荷距离为 的电势为 $$ \phi=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}r}
例：[[均匀带电球面#电势分布|电势分布]] 、[[电偶极子#电势分布|电势分布]] > [!example] > > 平行板电容器两板间电势差 > 场强为 > $$ > E=\frac{\sigma}{\epsilon_{0}} > $$ > 两板间的电势差 > $$ > \Delta\phi=\int Edl=Ed=\frac{\sigma d}{\epsilon_{0}} > $$ ### 电场强度与电势梯度-\int \vec{E}\cdot d\vec{l}=\phi_b-\phi_a
E_l=-\frac{ \partial \phi }{ \partial l }
由电势可以推出电场强度！ 例：[[电偶极子]] ## 电势能 电势能 $W=q_{0}\phi$ 电荷在外电场中的电势能是属于电荷与产生电场的电荷系所**共有的**。 ## 静电能 > [!definition] > > 将各电荷从现有位置分散到**无限远处**，它们间的静电力所做的功定义为电荷系在**原来状态的静电能**。 对于两个点电荷 $q_{1},q_{2}$，相互作用能W_{12}=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}=q_{1}\phi_{1}=q_{2}\phi_{2}
W_{12}=\frac{1}{2}(q_{1}\phi_{1}+q_{2}\phi_{2})
可以容易地推广到 $n$ 个点电荷：W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n} q_i\phi_i
^a15865 其中 $\phi_i$ 为 $q_i$ 所在处由**其他电荷**所产生的电势。 对于带电体，它的静电能为：W=\frac{1}{2}\int \phi dq
- ! 计算 $\phi$ 时必须扣除当前微元产生的电势！ > [!example] > > 均匀带电球面，半径为 $R$，总电量为 $Q$，求这一带电系统的静电能。 > 带电球面的电势为 > $$ > \phi=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R} > $$ > 静电能为 > $$ > W=\frac{1}{2} \int \phi dq=\frac{1}{2} \int \frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R}dq=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R} > $$ > ## 静电场的能量 均匀带电的气球带电量为 $Q$，由于电荷间的斥力，气球将会膨胀。 设某一时刻气球半径为 $R$，此时气球静电能为 $W=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R}$，当气球膨胀 $dR$ 时，电荷间斥力做功，静电能减少：-dW=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R^{2}}dR
此时半径为 $R$，厚度为 $dR$ 的球壳内电场消失了，可以认为减少的能量存储在球壳内的电场中，dW=\frac{Q^{2}}{8\pi\epsilon_{0}R^{2}}dR=\frac{\epsilon_{0}E^{2}}{2}dV
定义**电场能量密度**$w_e$w_e=\frac{dW}{dV}=\frac{\epsilon_{0}E^{2}}{2}
对一个带电系统的全空间 $V$ 求积分即可求出一个带电系统的电场的总能量W=\int_{V} w_{e}dV