大物-电磁感应

法拉第电磁感应定律

感应电动势大小和通过导体回路的磁通量变化率成正比。

$$ϵ=-\frac{d\Phi }{dt}$$

产生的磁场总是阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。

动生电动势

导体在恒定磁场中运动时产生的感应电动势。

$$ϵ=Blv$$

只在导体棒内产生。 方向由楞次定律或右手定则确定。 对于非均匀磁场，

$$ϵ={\oint }_L(\vec{v}\times \vec{B})\cdot d\vec{l}$$

感生电动势

由磁场变化引起电场，叫感生电场。

$$ϵ={\oint }_L{E}_i\cdot d\vec{l}$$

因此

$${\oint }_L{\vec{E}}_i\cdot d\vec{l}=-\frac{d\Phi }{dt}$$

在空间中任一点都会产生感生电场，且满足该式。

$${\oint }_L{\vec{E}}_i\cdot d\vec{r}=-\frac{d}{dt}{\int }_S\vec{B}\cdot d\vec{S}=-{\int }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

一般情况下，空间中的电场可能既有静电场 ${\vec{E}}_s$ 也有感生电场 ${\vec{E}}_i$，而静电场的环路积分为 0，根据叠加原理，

$${\oint }_L\vec{E}\cdot d\vec{r}=-{\int }_S\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\cdot d\vec{S}$$

Example

测量铁磁质的磁感应强度： 在铁磁质的环上绕上两组线圈，$N_1$ 与电池相连，$N_2$ 与一个冲击电流计相连（可以测量流过的电量），当 $N_1$ 中的电流从 0 增大到 $I_1$ 时，测出流过 $N_2$ 的电量为 $q$，求此时铁环中的磁感应强度。 $N_2$ 中会产生感生电动势，

$$ϵ=N_{2}S\frac{dB}{dt}$$

则 $N_2$ 中的电流为

$$i=\frac{ϵ}{R}=\frac{N_{2}S}{R}\frac{dB}{dt}$$ $$q={\int }_0^{\tau }idt={\int }_0^{B_1}\frac{N_{2}S}{R}dB=\frac{N_{2}S{B}_1}{R}$$

因此

$$B_1=\frac{qR}{N_{2}S}$$

互感

闭合导体回路其中的电流随时间变化时，周围的磁场也随时间变化，因此它附近的导体回路中就会产生感生电动势，叫互感电动势 回路 $L_1$ 中的电流 $i_1$ 随时间变化，会引起回路 $L_2$ 中产生互感电动势 ${ϵ}_{21}$

$${\Psi }_{21}=M_{21}{i}_1$$

$M_{21}$ 称为回路 $L_1$ 对回路 $L_2$ 的互感系数，它取决于两个回路的几何形状、相对位置、匝数和周围磁介质的分布。

$${ϵ}_{21}=-\frac{d{\Psi }_{21}}{dt}=-M_{21}\frac{d{i}_1}{dt}$$

对一对导体回路，有

$$M_{12}=M_{21}=M$$

称为这两个导体回路的互感系数

Example

长直密绕螺线管单位长度上的匝数为 $n$，另一半径为 $r$ 的圆环放在螺线管内，圆环平面与管轴垂直，求互感系数。 若螺线管内有电流 $i_1$，则 $B_1={\mu }_{0}n{i}_1$，通过圆环的全磁通为 ${\Psi }_{21}=B_1\pi r^2=\pi r^2{\mu }_{0}n{i}_1$ 则有

$$M_{21}=\frac{{\Psi }_{21}}{i_1}=\pi r^2{\mu }_{0}n$$

自感

电流回路的电流 $i$ 随时间变化时，通过回路自身的全磁通也发生变化，因此回路自身也会产生感生电动势，称为自感电动势。

$$\Psi =Li$$

$L$ 称为回路的自感系数，它取决于回路的大小、形状、匝数和周围磁介质的分布。

$${ϵ}_L=-\frac{d\Psi }{dt}=-L\frac{di}{dt}$$

自感电动势的方向总是阻碍回路本身电流的变化。

Example

计算密绕螺绕环的自感。 环的截面积为 $S$，半径为 $R$，单位长度上的匝数为 $n$，环中充满相对磁导率为 ${\mu }_r$ 的磁介质 螺绕环通有电流 $i$，螺绕环内 $B={\mu }_0{\mu }_{r}ni$，管内全磁通为

$$\Psi =N\Phi =2\pi RN\cdot BS=2\pi {\mu }_0{\mu }_{r}R{n}^{2}Si$$

因此自感为

$$L=\frac{\Psi }{i}=2\pi {\mu }_0{\mu }_{r}R{n}^{2}S=\mu n^{2}V$$

Example

一根电缆由同轴的两个薄壁金属管组成，半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，两管壁间充满 ${\mu }_r$ 的磁介质。电流由内管流出，由外管流回。 求单位长度的电缆的自感系数。

$$B=\frac{{\mu }_0{\mu }_{r}I}{2\pi r}$$

通过单位长度的磁通量为

$$\Phi ={\int }_{R_1}^{R_2}\vec{B}\cdot d\vec{S}={\int }_{R_1}^{R_2}Bdr=\frac{{\mu }_0{\mu }_{r}I}{2\pi }\ln \frac{R_2}{R_1}$$

则单位长度的自感系数为

$$L=\frac{\Phi }{I}=\frac{{\mu }_0{\mu }_r}{2\pi }\ln \frac{R_2}{R_1}$$

磁场的能量

自感为 $L$ 的线圈，通有电流 $I$ ，所存储的磁能等于电流消失时自感电动势所做的功。

$$dA={ϵ}_{L}idt=-L\frac{di}{dt}idt=-Lidi$$

因此自感电动势做的总功为

$$A=\int dA={\int }_I^0-Lidi=\frac{1}{2}L{I}^2$$

因此线圈具有的磁能为

$$W_m=\frac{1}{2}L{I}^2$$

以螺绕环为例，

$$W_m=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\mu n^{2}V{I}^2$$

由于 $B=\mu nI$，

$$W_m=\frac{B^2}{2\mu }V$$

定义磁场能量密度 $w_m$

$$w_m=\frac{B^2}{2\mu }$$

利用磁场强度 $\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu }$

$$w_m=\frac{1}{2}\vec{B}\cdot \vec{H}$$

它对磁场普遍有效。 对比电场能量密度，

w_e=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot \vec{E}

Link to original

形式完全一致。

求两个相互邻近的电流回路的磁场能。 先使 $i_1$ 从 0 增大到 $I_1$，此时电源 ${ϵ}_1$ 储存到磁场中的能量为

$$W_1=\frac{1}{2}{L}_1{I}_1^2$$

在使 $i_2$ 从 0 增大到 $I_2$，此时电源 ${ϵ}_2$ 存储到磁场中的能量为

$$W_2=\frac{1}{2}{L}_2{I}_2^2$$

$i_2$ 增大时，回路 1 中会产生互感电动势 ${ϵ}_{12}$，

$${ϵ}_{12}=-M_{12}\frac{d{i}_2}{dt}$$ $$W_{12}=\int M_{12}{I}_1\frac{d{i}_2}{dt}dt=M_{12}{I}_1{I}_2$$

因此总能量为

$$W_m=\frac{1}{2}{L}_1{I}_1^2+\frac{1}{2}{L}_2{I}_2^2+M{I}_1{I}_2$$

Theorem

对于 $n$ 个线圈，

$$W_m=\frac{1}{2}\sum _i{L}_i{I}_i^2+\frac{1}{2}\sum _{i\ne j}{M}_{ij}{I}_i{I}_j=\frac{1}{2}\sum _i{\Psi }_i{I}_i$$

对比 $n$ 个点电荷具有的静电能，

Transclude of 大物-电势#^a15865

形式完全一致，计算静电能时需扣除自身在自身位置产生的电势，而计算磁场能时需计算包含自身在自身位置产生的全磁通。