大物-磁场中的磁介质

磁介质对磁场的影响

考虑物质受磁场的影响或对磁场的影响时，物质统称为磁介质。

$$B={\mu }_r{B}_0$$

${\mu }_r$ 称为磁介质的相对磁导率。若 ${\mu }_r$ 略小于 1，称为抗磁质，若 ${\mu }_r$ 略大于 1，称为顺磁质。这两种磁介质对磁场的影响很小，一般不考虑它们的影响。 若 ${\mu }_r$ 比 1 大得多，还随 $B_0$ 的大小发生变化，这种磁介质叫铁磁质，它们对磁场影响很大。

磁介质对磁场的影响来源于磁介质自身的改变，这涉及磁介质的微观结构。

原子的磁矩

电子在半径为 $r$ 的圆周上以速率 $v$ 运动，周期为 $\frac{2\pi r}{v}$，圆电流为

$$I=\frac{e}{2\pi r/v}=\frac{ev}{2\pi r}$$

轨道磁矩为

$$m=IS=\frac{ev}{2\pi r}\pi r^2=\frac{evr}{2}=\frac{e}{2m_e}L$$

电子在轨道运动的同时还具有自旋运动，会产生自旋磁矩。

一个分子的磁矩是其中所有电子的轨道磁矩和自旋磁矩以及核的自旋磁矩的矢量和。

• 有些分子的磁矩矢量和为 0，这种分子组成的物质是抗磁质
• 有些分子的磁矩矢量和不为 0，这个值叫分子的固有磁矩，这些分子组成的物质是顺磁质

核磁共振

顺磁质放入磁场时，固有磁矩受磁场力的左右，磁矩排列被改变，倾向于转向与外磁场方向一致，进而对原磁场产生影响。

在外磁场作用下，一个电子的轨道运动会发生变化，因此会在原有磁矩的基础上产生一个附加磁矩 $\Delta m$，其方向总是与外磁场方向相反，这些方向相同的附加磁矩的矢量和就是一个分子在外磁场中产生的感生磁矩。（感生磁矩比固有磁矩小 5 个数量级以上）

当抗磁质放入磁场时，其产生的感生磁矩会改变原磁场。

磁介质的磁化

顺磁质或抗磁质放入外磁场中时，相当于介质圆柱体表面上有一层电流流过，这种电流叫束缚电流或磁化电流。磁介质表面上出现束缚电流的现象叫磁介质的磁化。

顺磁质产生的磁场加强磁介质中的磁场，抗磁质产生的磁场减弱磁介质中的磁场。

单位体积内分子磁矩的矢量和表示磁介质磁化的程度，叫做磁介质的磁化强度。

$$\vec{M}=\sum \frac{{\vec{m}}_i}{\Delta V}$$

各向同性的顺磁质和抗磁质的磁化强度都和 $B$ 成正比，

$$\vec{M}=\frac{{\mu }_r-1}{{\mu }_0{\mu }_r}\vec{B}$$

对比电介质，

Theorem

对于各向同性的电介质，当电场不太强时，$\vec{P}$ 与 $\vec{E}$ 成正比，方向相同，有

$$\vec{P}={ϵ}_0({ϵ}_r-1)\vec{E}$$

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对于磁介质内的一长度元 $d\vec{r}$，有

$$d{I}^{\prime }=n\pi a^{2}dr\cos \theta =M\cos \theta dr=\vec{M}\cdot d\vec{r}$$

面束缚电流密度

$$j^{\prime }=\frac{dI}{dl}=M\cos \theta =\vec{M}\times {\vec{e}}_n$$

Theorem

磁介质内与任意闭合路径 $L$ 铰链的束缚电流等于磁化强度沿该闭合路径的环流

$$I^{\prime }={\oint }_{L}dI={\oint }_L\vec{M}\cdot d\vec{r}$$

H 的环路定理

束缚电流会反过来影响磁场的分布。

H 的环路定理

存在磁介质时，任一点的磁感应强度 $B$ 应该是自由电流的磁场 $B_0$ 和束缚电流的磁场 $B^{\prime }$ 的矢量和，

$$\vec{B}={\vec{B}}_0+{\vec{B}}^{\prime }$$

对任一闭合路径 $L$

$${\oint }_L\vec{B}\cdot d\vec{r}={\mu }_0\left(\sum I_{0in}+I_{in}^{\prime }\right)$$ $${\oint }_L\left(\frac{\vec{B}}{{\mu }_0}-\vec{M}\right)\cdot d\vec{r}=\sum I_{0in}$$

定义磁场强度

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{{\mu }_0}-\vec{M}$$

有

$${\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{r}=\sum I_{0in}$$

Theorem

$\vec{H}$ 与 $\vec{B}$ 有以下关系：

$$\vec{H}=\frac{\vec{B}}{{\mu }_0{\mu }_r}=\frac{\vec{B}}{\mu }$$

$\vec{H}$ 与 $\vec{M}$ 有以下关系：

$$\vec{M}=({\mu }_r-1)\vec{H}$$

对比电位移，

Circular transclusion detected: 10-Areas/Physics/大物-静电场中的电介质

Example

无限长直螺线管，单位长度上的匝数为 $n$，通有电流 $I$，螺线管内充满相对磁导率为 ${\mu }_r$ 的均匀磁介质，求管内的磁感应强度和磁介质表面的面束缚电流密度。

过管内一点 P 作一矩形回路，

$${\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{r}=Hl=nlI$$

因此

$$H=nI$$ $$B={\mu }_0{\mu }_{r}H={\mu }_0{\mu }_{r}nI$$

即当管内有磁介质时，其中的磁感应强度为真空时的 ${\mu }_r$ 倍

$$M=\frac{{\mu }_r-1}{{\mu }_0{\mu }_r}B=({\mu }_r-1)nI$$ $$j^{\prime }=\vec{M}\times {\vec{e}}_n=({\mu }_r-1)nI$$

Example

一根半径为 $R$ 的导体和导电外壁之间充满相对磁导率为 ${\mu }_r$ 的均匀介质，电流 $I$ 从芯流过并沿着外壁流回。 求磁介质中的磁感应强度分布和紧贴导体芯的磁介质表面的束缚电流。

垂直于轴的平面上作一圆心在轴上，半径为 $r$ 的圆周 $L$，

$${\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{r}=2\pi rH=I$$

有

$$H=\frac{I}{2\pi r}$$

因此

$$B={\mu }_0{\mu }_{r}H=\frac{{\mu }_0{\mu }_r}{2\pi r}I$$

有

$$j^{\prime }=\frac{{\mu }_r-1}{2\pi R}I$$

因此磁介质内表面上总束缚电流为

$$I^{\prime }=j^{\prime }\cdot 2\pi R=({\mu }_r-1)I$$

铁磁质

• 相对磁导率 ${\mu }_r$ 比较大，而且随磁场的强弱发生变化
• 有明显的磁滞效应
  • 当铁磁质达到磁饱和后，逐渐减小磁化电流，当 $I=0$ 时，$H=0$ 而 $B\ne 0$，这种现象叫磁滞效应，此时的磁感应强度用 $B_r$ 表示，称为剩磁
  • 当 $H$ 增大到 $-H_c$ 时，$B=0$，$H_c$ 称为铁磁质的矫顽力
  • 继续增大反向电流，可以使铁磁质达到反向的磁饱和状态
• 把铁磁质放在周期性变化的磁场中反复磁化时，它会变热。在变压器或其他交流电磁装置中，这种能量损失叫磁滞损耗或铁损。

磁场的边界条件

两种磁介质的相对磁导率分别为 ${\mu }_{r_1}$ 和 ${\mu }_{r_2}$，且交界面上无自由电流。 交界面上取一矩形回路，有

$${\oint }_L\vec{H}\cdot dr=H_{1t}\Delta l-H_{2t}\Delta l=0$$ $$H_{1t}=H_{2t}$$

在交界面上作一扁圆筒，

$$\subset \supset \iint B\cdot d\vec{S}=-B_{1n}\Delta S+B_{2n}\Delta S=0$$ $$B_{1n}=B_{2n}$$ $$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{B_{1t}/B_{1n}}{B_{2t}/B_{2n}}=\frac{{\mu }_{r_1}}{{\mu }_{r_2}}$$

$B$ 线进入铁磁质时，方向有很大的改变，使 $B$ 线几乎都平行于表面，可以借此实现磁屏蔽。

简单磁路

把线圈缠绕在铁环上，通电流，铁环会被磁化，在它的表面产生束缚电流，磁场分布基本由这束缚电流决定。

Example

铁环长度 $l$，截面积 $S$，环上空隙宽度 $\delta$，一部分绕有线圈 $N$ 匝，通电流 $I$，相对磁导率 ${\mu }_r$。求铁环空隙中的磁感应强度。

可以近似地将空隙中的磁感应强度视为与铁环内的相等。

$${\oint }_L\vec{H}\cdot d\vec{r}={\int }_{l}Hdr+{\int }_{\delta }{H}_{0}dr=NI$$ $$Hl+H_0\delta =NI$$ $$\frac{Bl}{{\mu }_0{\mu }_r}+\frac{B\delta }{{\mu }_0}=NI$$ $$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{\frac{l}{{\mu }_r}+\delta }$$

也可以写成

$$\Phi \left(\frac{l}{{\mu }_0{\mu }_{r}S}+\frac{\delta }{{\mu }_{0}S}\right)=NI$$

括号中两项和电阻公式 $R=\rho l/S$ 形式一样，称为磁阻，对比欧姆定律，可以将 $\Phi$ 类比为 $I$，将 $NI$ 类比为电动势