大物-静电场中的电介质

电介质就是绝缘体，理想的电介质内部没有可以自由移动的电荷，完全不导电。但把一块电介质放到电场中，它会受电场影响，发生电极化，也会影响原电场的分布。

电介质对电场的影响

两平行金属板分别带电 $Q$ 和 $-Q$，板间是空气时，板间有电压 $U_0$，电场 $E_0$。此时在板间插入电介质，会使电压变为 $U=\frac{U_0}{{ϵ}_r}$，电场变为 $E=\frac{E_0}{{ϵ}_r}$ ，其中 ${ϵ}_r$ 是相对介电常量，是一个大于 1 的数，大小随电介质种类和状态而改变。

电介质的极化

在外电场的影响下，电介质分子排列会改变，外电场越强，固有电矩排列越整齐，电介质表面会出现只有正电荷或负电荷的电荷层，这种电荷叫面束缚电荷，这叫做电介质的极化。 把单位体积内的分子的电矩的矢量和称为电极化强度，

$$\vec{P}=\frac{\sum \overrightarrow{p_i}}{\Delta V}$$

Theorem

对于各向同性的电介质，当电场不太强时，$\vec{P}$ 与 $\vec{E}$ 成正比，方向相同，有

$$\vec{P}={ϵ}_0({ϵ}_r-1)\vec{E}$$

其中 ${ϵ}_r$ 为相对介电常量。

Theorem

对于电介质上的一个面元，有

$$d{q}^{\prime }=qndV=qnldS\cos \theta =P\cos \theta dS$$

因此电介质体内和体外的束缚电荷分别为

$$\begin{array}{rl}{q}_{out}^{\prime }& ={\oint }_S\vec{P}\cdot d\vec{S}\\ q_{in}^{\prime }& =-\oint \vec{P}\cdot d\vec{S}\end{array}$$

D 的高斯定律

D 的高斯定律

电介质上的束缚电荷产生的电场用 $\overrightarrow{E^{\prime }}$ 表示，则总电场为 $\vec{E}=\overrightarrow{E_0}+\overrightarrow{E^{\prime }}$ 对于高斯面 $S$，

$$\subset \supset {\iint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{1}{{ϵ}_0}\left(\sum q_{0in}+q_{in}^{\prime }\right)$$

代入 $q_{in}^{\prime }$

$$\subset \supset {\iint }_S({ϵ}_0\vec{E}+\vec{P})\cdot d\vec{S}=\sum q_{0in}$$

定义电位移

$$\vec{D}={ϵ}_0\vec{E}+\vec{P}$$

则

$$\subset \supset \iint \vec{D}\cdot d\vec{S}=\sum q_{0in}$$

Theorem

对于各向同性电介质，有

$$\vec{D}={ϵ}_0{ϵ}_r\vec{E}$$

定义介电常量

$$ϵ={ϵ}_0{ϵ}_r$$

有

$$\vec{D}=ϵ\vec{E}$$

• 在 D 的高斯定律中，右式只计算了自由电荷

Example

带正电金属球浸没在油中，半径为 $R$，电量为 $q$，油的相对介电常量为 ${ϵ}_r$，求电场分布和束缚电荷总量 $q^{\prime }$

---

取半径为 $r$ 的高斯面，

$$D\cdot 4\pi r^2=q$$

则

$$E=\frac{D}{{ϵ}_0{ϵ}_r}=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{ϵ}_r{r}^2}$$

束缚电荷在 $r$ 处产生的电场为

$$E^{\prime }=\frac{q^{\prime }}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$$

自由电荷在 $r$ 处产生的电场为

$$E_0=\frac{q}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$$

因此

$$q^{\prime }=(\frac{1}{{ϵ}_r}-1)q$$

或者，可以通过电极化强度求束缚电荷

$$P={ϵ}_0({ϵ}_r-1)\vec{E}=\frac{({ϵ}_r-1)q}{4\pi {ϵ}_r{R}^2}$$

有

$$q^{\prime }=4\pi R^2\cdot P=\left(\frac{1}{{ϵ}_r}-1\right)q$$

Example

两块平行金属板间原本为真空，面电荷密度分别为 ${\sigma }_0,-{\sigma }_0$，保持电量不变，将板间一半空间充入相对介电常量为 ${ϵ}_r$ 的电介质，求电场。

---

$$D_1\cdot \Delta S={\sigma }_1\Delta S$$

有

$$D_1={\sigma }_1$$

则

$$E_1=\frac{D_1}{{ϵ}_0{ϵ}_r}=\frac{{\sigma }_1}{{ϵ}_0{ϵ}_r}$$

两侧电压相同

$$E_1=\frac{{\sigma }_1}{{ϵ}_0{ϵ}_r}=\frac{{\sigma }_2}{{ϵ}_0}=E_2$$

有

$${\sigma }_1={ϵ}_r{\sigma }_2$$

又因为

$${\sigma }_1+{\sigma }_2=2{\sigma }_0$$

有

$$\{\begin{array}{r}{\sigma }_1=\frac{2{ϵ}_r}{1+{ϵ}_r}{\sigma }_0\\ {\sigma }_2=\frac{2}{1+{ϵ}_r}{\sigma }_0\end{array}$$

因此此时电场为

$$E=\frac{{\sigma }_2}{{ϵ}_0}=\frac{2{ϵ}_0}{{ϵ}_0(1+{ϵ}_r)}=\frac{2}{1+{ϵ}_r}{E}_0$$

D 的折射定律

在两种电介质的交界处，可以证明

$$\begin{array}{rl}{E}_{1t}& =E_{2t}\\ D_{1n}& =D_{2n}\end{array}$$

因此

$$\frac{\tan {\theta }_1}{\tan {\theta }_2}=\frac{D_{1t}/D_{1n}}{D_{2t}/D_{2n}}=\frac{D_{1t}}{D_{2t}}=\frac{{ϵ}_{r1}{E}_{1t}}{{ϵ}_{r2}{E}_{2t}}=\frac{{ϵ}_{r1}}{{ϵ}_{r2}}$$

电容器和电容

孤立导体的电容

$$C=\frac{Q}{\varphi }$$

Example

真空中孤立导体球的电容 导体球电势

$$\varphi =\frac{Q}{4\pi {ϵ}_{0}R}$$

导体球电容

$$C=\frac{Q}{\varphi }=4\pi {ϵ}_{0}R$$

导体组的电容

$$C=\frac{Q}{U}$$

Example

平行板电容器的电容

$$\begin{array}{rl}& U=Ed=\frac{\sigma }{{ϵ}_0{ϵ}_r}d=\frac{Qd}{{ϵ}_0{ϵ}_{r}S}\\ & C=\frac{Q}{U}=\frac{{ϵ}_0{ϵ}_{r}S}{d}\end{array}$$

Example

求柱形电容器单位长度电容，单位长度带电量为 $\lambda$

$$\begin{array}{rl}& E=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_0{ϵ}_{r}r}\\ & U={\int }_{R_1}^{R_2}Edx=\frac{\lambda }{2\pi {ϵ}_0{ϵ}_r}\ln \frac{R_2}{R_1}\\ & C=\frac{2\pi {ϵ}_0{ϵ}_r}{\ln \frac{R_2}{R_1}}\end{array}$$

电容的串并联

• 串联：$Q_1=Q_2=Q,U=U_1+U_2$，有 $$ \frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}

- 并联：$U=U_{1}=U_{2},Q=Q_{1}+Q_{2}$，有 $$ C=C_{1}+C_{2}

电容器的能量

$$W=\frac{1}{2}{Q}_A{\varphi }_A+\frac{1}{2}{Q}_B{\varphi }_B=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}C{U}^2$$

由于

$$C=\frac{{ϵ}_0{ϵ}_{r}S}{d}$$ $$E=\frac{Q}{{ϵ}_0{ϵ}_{r}S}$$

有

$$W=\frac{{ϵ}_0{ϵ}_r}{2}{E}^{2}Sd$$

此时电场能量体密度为

$$w_e=\frac{1}{2}{ϵ}_0{ϵ}_r{E}^2=\frac{1}{2}DE$$

有电介质时的电场能

$$w_e=\frac{1}{2}\vec{D}\cdot \vec{E}$$

对任何电介质内的电场都成立。 电场总能量

$$W=\int w_{e}dV=\int \frac{1}{2}ϵE^{2}dV$$